常见的排序算法——快速排序（二）

本文记述了对快速排序的 2 项改进的基本思想和一份参考实现代码，并在说明了算法的性能后用随机数据进行了验证。

◆ 思想

本文实现了《算法（第4版）》书中提到的 2 项改进，

• 切换到插入排序：对小规模子数组使用插入排序。减少在小规模数组中的递归调用能改进整个算法。
• 三取样切分：将取样大小设为 3 并用大小居中的元素切分；同时因为中位数作为了切分元素，可以去掉数组边界测试。

◆ 实现

排序代码采用《算法（第4版）》的“排序算法类模板”实现。(代码中涉及的基础类，如 Array，请参考算法文章中涉及的若干基础类的主要API）

// quick2.hxx

...

class Quick2
{

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    sort(Array<_T> & a)
    {
        Std_Random::shuffle(a);
        __sort__(a, 0, a.size()-1);
    }
    
    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __sort__(Array<_T> & a, int lo, int hi)
    {
        if (hi - lo <= 15) {                            // #1
            for (int i = lo+1; i <= hi; ++i) {
                _T t = a[i];
                int j;
                for (j = i; j > 0 && __less__(t, a[j-1]); --j)
                    a[j] = a[j-1];
                a[j] = t;
            }
        } else {
            int j = __partition__(a, lo, hi);
            __sort__(a, lo, j-1);
            __sort__(a, j+1, hi);
        }
    }

    ...

    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __partition__(Array<_T> & a, int lo, int hi)
    {
        int mi = lo + (hi - lo) / 2;
        if (__less__(a[mi], a[lo])) __exch__(a, mi, lo);           // #2
        if (__less__(a[hi], a[lo])) __exch__(a, hi, lo);
        if (__less__(a[hi], a[mi])) __exch__(a, hi, mi);
        __exch__(a, mi, lo);                               // #3
        int i = lo, j = hi+1;
        _T v = a[lo];                               // #3
        while (true) {
            while (__less__(a[++i], v));               // #4
            while (__less__(v, a[--j]));
            if (i >= j) break;
            __exch__(a, i, j);
        }
        __exch__(a, lo, j);
        return j;
    }

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    bool
    __less__(_T const& v, _T const& w)
    {
        return v.compare_to(w) < 0;
    }

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __exch__(Array<_T> & a, int i, int j)
    {
        _T t = a[i];
        a[i] = a[j];
        a[j] = t;
    }
    
    ...

当待排序的子数组规模较小时，采用无交换的插入排序（#1）。对 a[lo], a[mi], a[hi] 三取样的同时保证它们的有序性（#2），并以中位数作为切分元素（#3），可以去掉数组边界测试（#4）。

◆ 性能

时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
N*log(N)	log(N)	否

◆ 验证

测试代码采用《算法（第4版）》的倍率实验方案，用随机数据验证其正确性并获取时间复杂度数据。

// test.cpp
    
...

time_trial(int N)
{
    Array<Double> a(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) a[i] = Std_Random::random();    // #1
    Stopwatch timer;
    Quick2::sort(a);                     // #2
    double time = timer.elapsed_time();
    assert(Quick2::is_sorted(a));            // #3
    return time;
}

...

test(char * argv[])
{
    int T = std::stoi(argv[1]);          // #4
    double prev = time_trial(512);
    Std_Out::printf("%10s%10s%7s\n", "N", "Time", "Ratio");
    for (int i = 0, N = 1024; i < T; ++i, N += N) {            // #5
        double time = time_trial(N);
        Std_Out::printf("%10d%10.3f%7.2f\n", N, time, time/prev);   // #6
        prev = time;
    }
}

...

用 [0,1) 之间的实数初始化待排序数组（#1），打开计时器后执行排序（#2），确保得到正确的排序结果（#3）。整个测试过程要执行 T 次排序（#4）。每次执行排序的数据规模都会翻倍（#5），并以上一次排序的时间为基础计算倍率（#6），

此测试在实验环境一中完成，

$ g++ -std=c++11 test.cpp std_out.cpp std_random.cpp stopwatch.cpp type_wrappers.cpp

$ ./a.out 15

         N      Time  Ratio
      1024     0.007   2.33
      2048     0.015   2.14
      4096     0.031   2.07
      8192     0.065   2.10
     16384     0.136   2.09
     32768     0.291   2.14
     65536     0.600   2.06
    131072     1.263   2.10
    262144     2.625   2.08
    524288     5.410   2.06
   1048576    11.274   2.08
   2097152    23.266   2.06
   4194304    48.453   2.08
   8388608    99.481   2.05
  16777216   206.395   2.07

可以看出，随着数据规模的成倍增长，排序所花费的时间将是上一次规模的 2.0? 倍，且在不断波动地变小。将数据反映到以 2 为底数的对数坐标系中，可以得到如下图像，

O(N*log(N)) 代表了线性对数级别复杂度下的理论排序时间，该行中的数据是以 Time 行的第一个数据为基数逐一乘 2 + 2/log(N) 后得到的结果（因为做的是倍率实验，所以乘 (2*N*log(2*N)) / (N*log(N))，化简得到 2 + 2/log(N)，即乘 2+2/log(1024)，2+2/log(2048)，2+2/log(4096)，... 2+2/log(16777216)；因为是二分递归，所以 log 的底数为 2）。

◆ 最后

完整的代码请参考 [gitee] cnblogs/18233834 。

查看性能对比，了解此算法与其它排序算法的相似性和差异性。

写作过程中，笔者参考了《算法（第4版）》的快速排序、练习题 2.3.18、练习题 2.3.25、“排序算法类模板”和倍率实验。致作者 Sedgwick，Wayne 及译者谢路云。