常见的排序算法——归并排序（五）

本文记述了自然的两两归并排序并给出了一份参考实现代码。在说明了算法的性能后用随机数据进行了验证。

◆ 思想

自然的归并排序是自底向上的。先从第一个元素开始找到一个有序的子范围，然后从紧接着的后面元素开始找到另一个有序的子范围，将这两个子范围归并成一个大的有序子范围。接着找到下一个有序子范围，将它与前面的有序子范围归并。重复以上步骤，直到所有元素都被归并，即得到完整有序的结果。

◆ 实现

排序代码采用《算法（第4版）》的“排序算法类模板”实现。(代码中涉及的基础类，如 Array，请参考算法文章中涉及的若干基础类的主要API）

// merge5.hxx

...

class Merge5
{

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    sort(Array<_T> & a)
    {
        int N = a.size();
        Array<_T> aux = Array<_T>(N);
        for (int k = 0; k < N; ++k)
            aux[k] = a[k];
        int lo = 0, mi = 0, hi = 1;
        while (hi < N) {
            __merge__(a, lo, mi, hi, aux);            // #1
            mi = hi++;
            while (hi < N-1 && __less__(a[hi], a[hi+1])) ++hi;       // #2
        }
    }
    
    ...

    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    void
    __merge__(Array<_T> & a, int lo, int mi, int hi, Array<_T> & aux)
    {
        int i = lo, j = hi;
        for (int k = lo; k <= mi; ++k)
            aux[k] = a[k];
        for (int k = mi+1; k <= hi; ++k)            // #3
            aux[k] = a[hi - (k - (mi+1))];
        for (int k = lo; i <= j; ++k)
            if (__less__(aux[i], aux[j])) a[k] = aux[i++];
            else                          a[k] = aux[j--];
    }

    ...
    
    template
    <
        class _T,
        class = typename std::enable_if<std::is_base_of<Comparable<_T>, _T>::value>::type
    >
    static
    bool
    __less__(_T const& v, _T const& w)
    {
        return v.compare_to(w) < 0;         // #4
    }

    ...

先从 [0,0] 和 [1,1] 这两个有序子范围开始，将两个有序子范围归并（#1）成一个大的有序子范围，然后找到下一个有序子范围（#2），再把这两个有序子范围进行归并（#1）。此处的归并使用了归并排序（四）中的快速归并方案（#3）。重复以上步骤，直到所有元素都被归并，即得到完整有序的结果。将 '<' 改为 '>'，即得到逆序的结果（#4）。

◆ 性能

对 __merge()__ 函数的改进，导致了不稳定的归并。

时间复杂度	空间复杂度	是否稳定
N^2	N	否

◆ 验证

测试代码采用《算法（第4版）》的倍率实验方案，用随机数据验证其正确性并获取时间复杂度数据。

// test.cpp
    
...

time_trial(int N)
{
    Array<Double> a(N);
    for (int i = 0; i < N; ++i) a[i] = Std_Random::random();    // #1
    Stopwatch timer;
    Merge5::sort(a);                     // #2
    double time = timer.elapsed_time();
    assert(Merge5::is_sorted(a));            // #3
    return time;
}

...

test(char * argv[])
{
    int T = std::stoi(argv[1]);          // #4
    double prev = time_trial(512);
    Std_Out::printf("%10s%10s%7s\n", "N", "Time", "Ratio");
    for (int i = 0, N = 1024; i < T; ++i, N += N) {            // #5
        double time = time_trial(N);
        Std_Out::printf("%10d%10.3f%7.2f\n", N, time, time/prev);   // #6
        prev = time;
    }
}

...

用 [0,1) 之间的实数初始化待排序数组（#1），打开计时器后执行排序（#2），确保得到正确的排序结果（#3）。整个测试过程要执行 T 次排序（#4）。每次执行排序的数据规模都会翻倍（#5），并以上一次排序的时间为基础计算倍率（#6），

此测试在实验环境一中完成，

$ g++ -std=c++11 test.cpp std_out.cpp std_random.cpp stopwatch.cpp type_wrappers.cpp

$ ./a.out 8
    
         N      Time  Ratio
      1024     0.201   4.02
      2048     0.819   4.07
      4096     3.267   3.99
      8192    12.630   3.87
     16384    51.466   4.07
     32768   205.775   4.00
     65536   836.357   4.06
    131072  3312.554   3.96

可以看出，随着数据规模的成倍增长，排序所花费的时间将是上一次规模的 4 倍。将数据反映到以 2 为底数的对数坐标系中，可以得到如下图像，

O(N^2) 代表了平方级别复杂度下的理论排序时间，该行中的数据是以 Time 行的第一个数据为基数逐一乘 4 后得到的结果（因为做的是倍率实验，所以乘 (2)^2 即 4）。

◆ 最后

完整的代码请参考 [gitee] cnblogs/18207655 。

查看性能对比，了解此算法与其它排序算法的相似性和差异性。

写作过程中，笔者参考了《算法（第4版）》的归并排序、练习题 2.2.16、“排序算法类模板”和倍率实验。致作者 Sedgwick，Wayne 及译者谢路云。