力扣 leetcode 162. 寻找峰值

问题描述

峰值元素是指其值严格大于左右相邻值的元素。

给你一个整数数组 nums，找到峰值元素并返回其索引。数组可能包含多个峰值，在这种情况下，返回 任何一个峰值 所在位置即可。

你可以假设 nums[-1] = nums[n] = -∞ 。

你必须实现时间复杂度为 O(log n) 的算法来解决此问题。

提示：

• 1 <= nums.length <= 1000`
• -231 <= nums[i] <= 231 - 1`
• 对于所有有效的 i 都有 nums[i] != nums[i + 1]

示例

示例 1：

输入：nums = [1,2,3,1]
输出：2
解释：3 是峰值元素，你的函数应该返回其索引 2。

示例 2：

输入：nums = [1,2,1,3,5,6,4]
输出：1 或 5 
解释：你的函数可以返回索引 1，其峰值元素为 2；
     或者返回索引 5， 其峰值元素为 6。

解题思路

这题按常规的思路来解答并不难，只需遍历一次数组即可，关键是要达到题目中要求的O(log n)的时间复杂度。这个时间复杂度的搜素算法最先想到的是二分查找，然而，二分查找一般是用于查找有序数组，而 nums 题目中并没有说明是有序的。

二分查找的本质是不断将搜索空间划分为两个部分，并每次都舍弃其中一部分，只在另一部分进行下次搜索。那么，要使用二分查找就必须保证我们要的解一定在保留的部分中。假设，我们将nums 划分为 [low, mid] 和 [mid + 1, high] 两个部分如果 mid 不是解，那么有没有可能其中一个区间一定存在解呢？

很简单，由于相邻元素不可能相等，我们只需要令 nums[low - 1] < nums[low] 以及 nums[mid] > nums[mid + 1] 即可保证 [low, mid] 区间中一定有解。或者令 nums[mid + 1] > nums[mid] 以及 nums[high] > nums[high + 1] 也能保证 [mid + 1, high] 中有解。证明如下：

假设 nums[low - 1] < nums[low] 且 nums[mid] > nums[mid + 1] 时， [low, mid] 中无解，则：

• nums[low] < nums[low + 1] < nums[low + 2] < ... < nums[mid - 1] 成立
• 如果此时 nums[mid - 1] < nums[mid] ，则 nums[mid] 为峰值
• 如果此时 nums[mid - 1] > nums[mid]， 则 nums[mid - 1] 为峰值

因此，无法满足 nums[low - 1] < nums[low] 且 nums[mid] > nums[mid + 1] 成立时，[low, mid] 无解的假设。同理可以证明其它假设。

既然如此，我们只需令更新后的 low 和 high 满足 nums[low - 1] < nums[low] 以及 nums[high] > nums[high + 1] 即可。代码如下：

class Solution {
public:
    int findPeakElement(vector<int>& nums) {
        int low = 0;
        int high = nums.size();
        int mid;
        if(nums.size() == 1){ // 判断nums长度为1的情况
            return 0;
        }
        if(nums[0] > nums[1]){ // 判断nums[0] 为峰值的情况
            return 0;
        }
        if(nums[nums.size() - 1] > nums[nums.size() - 2]){ // 判断nums[n-1]为峰值的情况
            return nums.size() - 1;
        }
        while(low < high){ // 此时，nums.length > 2，否则之前就已经找出峰值点了
            mid = (low + high) / 2;
            if(nums[mid] > nums[mid - 1] && nums[mid] > nums[mid + 1]){ // 判断mid是否是峰值点
                return mid;
            }
            else if(nums[mid] < nums[mid - 1]){ // 更新high
                high = mid;
            }
            else{ // 更新low
                low = mid + 1;
            }
        }
        return mid;
    }
};