洛谷 P3382 【模板】三分法

题目描述

如题，给出一个\(N\)次函数，保证在范围\([l,r]\)内存在一点\(x\)，使得\([l,x]\)上单调增，\([x,r]\)上单调减。试求出\(x\)的值。

输入输出格式

输入格式：

第一行一次包含一个正整数\(N\)和两个实数\(l、r\)，含义如题目描述所示。

第二行包含\(N+1\)个实数，从高到低依次表示该\(N\)次函数各项的系数。

输出格式：

输出为一行，包含一个实数，即为\(x\)的值。四舍五入保留\(5\)位小数。

输入输出样例

输入样例#1：

3 -0.9981 0.5
1 -3 -3 1

输出样例#1：

-0.41421

说明

时空限制：\(50ms,128M\)

数据规模：

对于\(100\%\)的数据：\(7<=N<=13\)

样例说明：

如图所示，红色段即为该函数\(f(x)=x^3-3x^2-3x+1\)在区间\([-0.9981,0.5]\)上的图像。

当\(x=-0.41421\)时图像位于最高点，故此时函数在\([l,x]\)上单调增，\([x,r]\)上单调减，故\(x=-0.41421\)，输出\(-0.41421\)。

（Tip.l&r\(的范围并不是非常大\)ww$不会超过一位数）

思路：其实之前做过这个题目，但是用的不是三分法，所以今天看知识体系，刚好发现自己不会三分法，就去学习了一下顺便回顾了这道模板题，三分的思路就是，先取\(l\)和\(r\)的中间点\(mid\)，再取\(mid\)和\(r\)的中间值\(mmid\)，然后比较\(f(mid)\)和\(f(mmid)\)，其中\(f(x)\)表示把x代入函数后的值为多少，如果\(f(mid)>f(mmid)\)，说明要找的点在\(mmid\)的左边，所以就让\(r=mmid\)，继续三分，反之，让\(l=mid\)，继续三分，最后的\(l\)和\(r\)一定会越来越接近要找的点，r和l的差在误差允许范围内时，就找完了。

代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define dl double
#define maxn 15
using namespace std;
const dl eps=1e-7;
int n;
dl a[maxn],l,r,p;
inline dl js(dl x) {
  dl res=a[0];
  for(int i=1;i<=n;++i) {
    dl tmp=a[i];
    for(int j=1;j<=i;++j) 
      tmp*=x;
    res+=tmp;
  }
  return res;
}
int main() {
  scanf("%d%lf%lf",&n,&l,&r);
  for(int i=n;i>=0;--i) {
    scanf("%lf",&p);
    a[i]=p;
  } 
  while(l+eps<r) {
    dl mid=(l+r)/2;
    dl mmid=(mid+r)/2;
    if(js(mid)>js(mmid)) r=mmid;
    else l=mid;
  }
  dl ans=js(l)>js(r)?l:r;
  printf("%0.5lf\n",r);
  return 0;
}