算法导论——红黑树
红黑树是一棵二叉搜索树，每个结点上增加了一个属性来存储颜色是红色还是黑色，红黑树可以确保没有一条路径会比其他路径长出2倍，所以近似可以认为是平衡的。
每个结点包含5个属性：color, key, left, right, p。如果一个结点没有子结点或者父结点，则该结点的相应指针属性为NIL，这些NIL可以视为树的叶结点，带关键字的结点视为内部结点。
红黑树具有以下性质：
- 每个结点都是红色的或者是黑色的
- 根结点是黑色的
- 每个叶结点NIL是黑色的
- 如果一个结点是红色的，它的两个子结点都是黑色的
- 每个结点到其他所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点，这个属性被称为黑高，记作bh(x)
如图是一个红黑树的例子，每个结点边上的数字表示其黑高。每个NIL叶结点都是黑色的。可以使用T.nil哨兵来表示所有的叶结点和根结点的父结点来简化存储，如下图
因为通常我们不需要去过多研究NIL结点，所以可以直接省略，集中研究内部结点
红黑树的黑高定义为根结点的黑高。一棵有n个内部结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)，因此SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR、PREDECESSOR的操作时间为O(lgn)
旋转
由于TREE-INSERT和TREE-DELETE操作可能会破坏红黑树的性质，因此在这之后需要改变某些结点的颜色和指针结构。修改指针结构的操作就是旋转。
旋转分为左旋和右旋，以左旋为例，y原本是x的右儿子，左旋之后y成为x父亲的新儿子，x成为y的左儿子，y的左儿子成为x的右儿子，也就是从上图的右边变为左边。旋转操作都在O(1)时间内完成，过程中出了指针外其他属性不变。下图展示了用左旋修改一棵树
1 LEFT-ROTATE(T,x) 2 y=x.right//y是x的左儿子 3 x.right=y.left//y的左儿子成为x的右儿子 4 if y.left != T.nil 5 y.left.p=x 6 y.p=x.p 7 if x.p == T.nil 8 T.root=y//若x为根则旋转后y为根 9 else if x==x.p.left//否则y成为x父结点的新儿子 10 x.p.left=y 11 else 12 x.p.right=y 13 y.left=x//x成为y的左儿子 14 x.p=y 15 16 RIGHT-ROTATE(T.y) 17 x=y.left//x是y的左儿子 18 y.left=x.right;//x的右儿子成为x的左儿子 19 if x.right != T.nil 20 x.right.p=y 21 x.p=y.p 22 if y.p == T.nil 23 T.root=x//若y为根则旋转后x为根 24 else if y==y.p.left//否则x成为y父结点的新儿子 25 y.p.left=x 26 else 27 y.p.right=x 28 x.right=y//y成为x的右儿子 29 y.p=x
插入
通过RB-INSERT将一个结点像普通二叉树那样插入红黑树并设为红色，然后使用INSERT-FIXUP来对节点重新着色并旋转
1 RB-INSERT(T,z) 2 y=T.nil 3 x=T.root 4 while x!=T.nil 5 y=x 6 if z.key<x.key 7 x=x.left 8 else 9 x=x.right 10 z.p=y 11 if y==T.nil 12 T.root=z 13 else if z.key<y.key 14 y.left=z 15 else 16 y.right=z 17 z.left=T.nil 18 z.right=T.nil 19 z.color=RED 20 RB-INSERT-FIXUP(T,z) 21 22 RB-INSERT-FIXUP(T,z) 23 while z.p.color==RED 24 if z.p==z.p.p.left//若z的父亲是左儿子 25 y=z.p.p.right//y是z的叔叔 26 if y.color==RED//情况1 27 z.p.color=BLACK 28 y.color=BLACK 29 z.p.p.color=RED 30 z=z.p.p 31 else if z==z.p.right//情况2 32 z=z.p 33 LEFT-ROTATE(T,z) 34 z.p.color=BLACK//情况3 35 z.p.p.color=RED 36 RIGHT-ROTATE(T,z.p.p) 37 else//left和right交换其他同上面情况 38 y=z.p.p.left//y是z的叔叔 39 if y.color==RED//情况1 40 z.p.color=BLACK 41 y.color=BLACK 42 z.p.p.color=RED 43 z=z.p.p 44 else if z==z.p.left//情况2 45 z=z.p 46 RIGHT-ROTATE(T,z) 47 z.p.color=BLACK//情况3 48 z.p.p.color=RED 49 LEFT-ROTATE(T,z.p.p) 50 T.root.color=BLACK
先分析一下可能会造成红黑树性质被破坏的情况：
情况1：z的叔结点y是红色的，这种情况下无论z是左儿子还是右儿子都可以只靠染色来维持红黑树性质。
情况2：z的叔结点y是黑色的且z是一个右孩子
情况3：z的叔结点y是黑色的且z是一个左孩子
情况2可以通过左旋转变到情况3，情况3再通过改变某些结点的颜色后进行右旋，保持红黑树的性质
下面是一个完整的操作实例
如图z和z的父结点z.p都是红色，且z.p有右兄弟y为红色，属于情况1，将z.p和y都染黑然后z.p.p染红，z指向z.p.p。现在z.p的右兄弟y是黑色的，同时z是右儿子属于情况2，z指向z.p后对z进行左旋。现在z.p有右兄弟y是黑色的，z是左儿子属于情况3，z.p染黑.z.p.p染红然后对z.p.p进行右旋，最后确保根结点是黑色的。
删除
红黑树的结点删除操作同样是基于二叉树删除改造而来，首先是TRANSPLANT方法，这个方法的作用是要删除结点u时把结点v填到u原本的位置。然后就是实际删除操作RB-DELETE， z的子结点少于2个时，删除z结点，子结点取代z的位置。z有两个儿子时，y是右子树中最小的一个作为z的后继，y移动到z的位置，z的左子树移交给y，y.right替换y原本的位置，若y原本是黑色，则需要检查y.right是否破坏了红黑树结构。由于删除后可能会破坏红黑树性质，所以和插入一样也需要执行修复操作
1 RE-TRANSPLANT(T,u,v) 2 if u.p==T.nil 3 T.root=v 4 else if u==u.p.left 5 u.p.left=v 6 else 7 u.p.right=v 8 v.p=u.p//v.p的赋值无条件执行，因为u是root时v.p是T.nil该赋值依然成立 9 10 RB-DELETE(T,z) 11 y=z 12 y-original-color=y.color 13 if z.left=T.nil 14 x=z.right 15 RB-TRANSPLANT(T,z,z.right)//z左儿子不存在则右儿子顶替z 16 else if z.right==T.nil 17 x=z.left 18 RB-TRANSPLANT(T,z,z.left)// z右儿子不存在则左儿子顶替z 19 else 20 y=TREE-MINIMUM(z.right)//y是z的右子树中最小的结点，即除NIL之外最左的结点 21 x=y.right//x是y的右儿子 22 if y.p==z 23 x.p=y//若y的右子树中没有左儿子，x.p=y（本来就是） 24 else 25 RB-TRANSPLANT(T,y,y.right)//用y.right替换y的位置 26 y.right.p=y 27 RB-TRANSPLANT(T,z,y)//用y替换z的位置 28 y.left=z.left//z的左子树移到y的左子树上，y本身没有左子树 29 y.left.p=y 30 y.color=z.color//y的颜色换成z的颜色 31 if y-original-color==BLACK 32 RE-DELETE-FIXUP(T,x)//若y原本是黑色则移走y后原本包含y路径的黑高会改变导致破坏红黑树性质 33 34 RB-DELETE-FIXUP(T,x) 35 while x != T.root and x.color == BLACK 36 if x == x.p.left 37 w=x.p.right//w是x的兄弟 38 if w.color == RED 39 w.color=BLACK//case1 40 x.p.color=RED 41 LEFT-ROTATE(T,x,p) 42 w=x.p.right 43 if w.left.color == BLACK and w.right.color == BLACK 44 w.color=RED//case2 45 x=x.p 46 else if w.right.color == BLACK 47 w.left.color=BLACK//case3 48 w.color=RED 49 RIGHT-ROTATE(T,w) 50 w=x.p.right 51 w.color=x.p.color//case4 52 x.p.color=BLACK 53 w.right.color=BLACK 54 LEFT-ROTATE(T,x,p) 55 x=T.root 56 else(上面的情况交换left right) 57 x.color=BLACK
情况1：x的兄弟w是红色的，w一定会有黑色的子结点，改变w和x.p的颜色，然后对x.p进行一次左旋。现在w是原本w的某个子结点，可能转为情况234
情况2：x的兄弟w是黑色的，w的两个子结点都是黑色的。w染红，x上升到x.p，若原本x.p是红色的（从情况1进入情况2就是这样的）则循环结束，将新的x染黑即可。
情况3：x的兄弟w是黑色的，w左儿子红色，右儿子黑色。交换w和w.left的颜色，然后对w进行右旋，这样w有一个红色的右儿子，转入情况4
情况4：x的兄弟结点w是黑色的，且w的右儿子是红色的，左儿子颜色不限。对x.p执行左旋之后，再对部分结点重新染色。
