母函数笔记

母函数WIKI

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母函数可分为很多种,包括普通母函数指数母函数L级数贝尔级数狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。

普通母函数#

普通母函数就是最常见的母函数。一般来说,序列(an)nN的母函数是:G(an;x)=n=0anxn

如果是某个离散随机变量的概率质量函数,那么它的母函数被称为一个概率母函数。

多重下标的序列也可以有母函数,例如序列(am,n)mN,nN的母函数是G(am,n;x,y)=m,n=0am,nxmyn

指数母函数#

序列(an)nN的指数母函数是:EG(an;x)=n=0anxnn!

泊松母函数#

序列(an)nN的泊松母函数是:PG(an;x)=n=0anexxnn!

L级数#

序列(an)nN的L级数是:LG(an;x)=n=1anxn1xn

注意这里的下标n​从1 而不是0 开始。

贝尔级数#

关于算术函数:f(n)p的贝尔级数是:fp(x)=n=0f(pn)xn

狄利克雷级数母函数#

狄利克雷级数经常被用作母函数,尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列(an)nN的狄利克雷级数母函数是:DG(an;s)=n=1anns

an是积性函数时狄利克雷级数比较有用,因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积:DG(an;s)=fp(ps)

如果an是狄利克雷特征,那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。

一般母函数的性质#

求和:#

在原函数f为(1,1,1,1,.....)的情况下

f=n=0xn=11x

不定方程的解数#

n=0Cn+kkxn=fk+1=1(1x)k+1

关于指数母函数#

ex=n=0xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+

ex=1x+x22!x33!+x44!+

ex+ex2=1+x22!+x44!+x66!+

exex2=x+x33!+x55!+x77!+

11x=i=0xi

ln(1+x)=i=0(1)ixi+1i+1=xx22+x33+

(1+x)a=i=0ai_xii!=1+ax+a(a1)x22!+a(a1)(a2)x33!+

sin(x)=i=0(1)ix2i+1(2i+1)!=x13!x3+15!x5+

cos(x)=i=0(1)ix2i(2i)!=1x22!+x44!+

arcsinx=x+12x33+1324x55+135246x77+

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