母函数WIKI
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母函数可分为很多种,包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题,因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
普通母函数#
普通母函数就是最常见的母函数。一般来说,序列(an)n∈N的母函数是:G(an;x)=∑∞n=0anxn
如果是某个离散随机变量的概率质量函数,那么它的母函数被称为一个概率母函数。
多重下标的序列也可以有母函数,例如序列(am,n)m∈N,n∈N的母函数是G(am,n;x,y)=∑∞m,n=0am,nxmyn
指数母函数#
序列(an)n∈N的指数母函数是:EG(an;x)=∑∞n=0anxnn!
泊松母函数#
序列(an)n∈N的泊松母函数是:PG(an;x)=∑∞n=0ane−xxnn!
L级数#
序列(an)n∈N的L级数是:LG(an;x)=∑∞n=1anxn1−xn
注意这里的下标n从1 而不是0 开始。
贝尔级数#
关于算术函数:f(n)和p的贝尔级数是:fp(x)=∑∞n=0f(pn)xn
狄利克雷级数母函数#
狄利克雷级数经常被用作母函数,尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列(an)n∈N的狄利克雷级数母函数是:DG(an;s)=∑∞n=1anns
当an是积性函数时狄利克雷级数比较有用,因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积:DG(an;s)=∏fp(p−s)
如果an是狄利克雷特征,那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。
一般母函数的性质#
求和:#
在原函数f为(1,1,1,1,.....)的情况下
f=∑∞n=0xn=11−x
不定方程的解数#
∑∞n=0Ckn+kxn=fk+1=1(1−x)k+1
关于指数母函数#
ex=∞∑n=0xnn!=1+x+x22!+x33!+x44!+⋯
e−x=1−x+x22!−x33!+x44!+⋯
ex+e−x2=1+x22!+x44!+x66!+⋯
ex−e−x2=x+x33!+x55!+x77!+⋯
11−x=∞∑i=0xi
ln(1+x)=∞∑i=0(−1)ixi+1i+1=x−x22+x33+⋯
(1+x)a=∞∑i=0ai–xii!=1+ax+a(a−1)x22!+a(a−1)(a−2)x33!+⋯
sin(x)=∞∑i=0(−1)ix2i+1(2i+1)!=x−13!x3+15!x5+⋯
cos(x)=∞∑i=0(−1)ix2i(2i)!=1−x22!+x44!+⋯
arcsinx=x+12x33+1∗32∗4x55+1∗3∗52∗4∗6x77+⋯
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