母函数笔记
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母函数可分为很多种，包括普通母函数、指数母函数、L级数、贝尔级数和狄利克雷级数。对每个序列都可以写出以上每个类型的一个母函数。构造母函数的目的一般是为了解决某个特定的问题，因此选用何种母函数视乎序列本身的特性和问题的类型。
普通母函数
普通母函数就是最常见的母函数。一般来说，序列\((a_n)_{n\in N}\)的母函数是：\(G(a_n;x)=\sum^{\infin}_{n=0}a_nx^n\)
如果是某个离散随机变量的概率质量函数，那么它的母函数被称为一个概率母函数。
多重下标的序列也可以有母函数，例如序列\((a_{m,n})_{m\in N,n\in N}\)的母函数是\(G(a_{m,n};x,y)=\sum^\infin_{m,n=0}a_{m,n}x^my^n\)
指数母函数
序列\((a_n)_{n\in N}\)的指数母函数是：\(EG(a_n;x)=\sum^{\infin}_{n=0}a_n\frac{x^n}{n!}\)
泊松母函数
序列\((a_n)_{n\in N}\)的泊松母函数是：\(PG(a_n;x)=\sum^{\infin}_{n=0}a_ne^{-x}\frac{x^n}{n!}\)
L级数
序列\((a_n)_{n\in N}\)的L级数是：\(LG(a_n;x)=\sum^{\infin}_{n=1}a_n\frac{x^n}{1-x^n}\)
注意这里的下标n从1 而不是0 开始。
贝尔级数
关于算术函数:\(f(n)\)和\(p\)的贝尔级数是：\(f_p(x)=\sum^{\infin}_{n=0}f(p^n)x^n\)
狄利克雷级数母函数
狄利克雷级数经常被用作母函数，尽管实际上狄利克雷级数并不是严格意义上的形式幂级数。序列\((a_n)_{n\in N}\)的狄利克雷级数母函数是：\(DG(a_n;s)=\sum^{\infin}_{n=1}\frac{a_n}{n^s}\)
当\(a_n\)是积性函数时狄利克雷级数比较有用，因为这时的母函数可以写成一系列贝尔级数的欧拉积：\(DG(a_n;s)=\prod f_p(p^{-s})\)
如果\(a_n\)是狄利克雷特征，那么它对应的狄利克雷级数母函数被称为狄利克雷L函数。
一般母函数的性质
求和：
在原函数f为(1,1,1,1,.....)的情况下
\(f=\sum^{\infin}_{n=0}x^n=\frac{1}{1-x}\)
不定方程的解数
\(\sum^{\infin}_{n=0}C^{k}_{n+k}x^n=f^{k+1}=\frac{1}{(1-x)^{k+1}}\)
关于指数母函数
\(e^{x} = \sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}=1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\)
\(e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots\)
\(\frac{e^x+e^{-x}}{2}=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^6}{6!}+\cdots\)
\(\frac{e^x-e^{-x}}{2}=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^7}{7!}+\cdots\)
\(\frac{1}{1 - x} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} x^i\)
\(ln(1 + x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i} \frac{x^{i + 1}}{i + 1}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots\)
\((1 + x)^{a} = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} a^{\underline{i}}\frac{x^i}{i!}=1+ax+\frac{a(a-1)x^2}{2!}+\frac{a(a-1)(a-2)x^3}{3!}+\cdots\)
\(sin(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i}\frac{x^{2i + 1}}{(2i + 1)!}=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5+\cdots\)
\(cos(x) = \sum\limits_{i = 0}^{\infty} (-1)^{i}\frac{x^{2i}}{(2i)!}=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots\)
\(arcsinx=x+\frac{1}{2}\frac{x^3}{3}+\frac{1*3}{2*4}\frac{x^5}{5}+\frac{1*3*5}{2*4*6}\frac{x^7}{7}+\cdots\)
