贝尔数的指数母函数推导

贝尔数的指数母函数推导

参考自 https://blog.csdn.net/ACdreamers/article/details/19008217

\(B[0]=1,B_{n+1}=\sum^n_{k=0}C^k_nB_k\)

贝尔数的指数母函数为\(E(B)=\sum^{\infin}_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n=B[0]+\sum^{\infin}_{n=1}\sum^{n-1}_{k=0}\frac{C^k_{n-1}B_k}{n!}x^n\)

改变枚举顺序，先枚举\(k\),那么对于\(B_k\)只有\(n\geq k+1\)有贡献

那么\(E(B)=B[0]+\sum^{\infin}_{k=0}B_k\sum^{\infin}_{n=k+1}\frac{C^k_{n-1}x^n}{n!}\)

\(=B[0]+\sum^{\infin}_{k=0}B_k\sum^{\infin}_{n=k+1}\frac{(n-1)!x^n}{n!(n-1-k)!k!}\)

\(=B[0]+\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_k}{k!}\sum^{\infin}_{n=k+1}\frac{x^n}{n(n-1-k)!}\)

\(=B[0]+\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_k}{k!}\sum^{\infin}_{n=k+1}\frac{x^n}{n(n-1-k)!}\)

对\(E(B)\)求导

\(E^{'}(B)=\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_k}{k!}\sum^{\infin}_{n=k+1}\frac{x^{n-1}}{(n-1-k)!}\)

尝试将第二个求和符号内的\(x^{n-1}\)变成\(x^{n-1-k}\)

\(=\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_kx^k}{k!}\sum^{\infin}_{n=k+1}\frac{x^{n-1-k}}{(n-1-k)!}\)

\(=\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_kx^k}{k!}\sum^{\infin}_{n=0}\frac{x^{n}}{n!}\)

此时第二个求和符号\(\sum^{\infin}_{n=0}\frac{x^{n}}{n!}\)正好是\(e^x\)的麦克劳林展开并舍去余项的形式,可以得到下面的形式

\(=\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_kx^k}{k!}e^x\)

\(\sum^{\infin}_{k=0}\frac{B_kx^k}{k!}\)不就是一开始的\(E(B)=\sum^{\infin}_{n=0}\frac{B_n}{n!}x^n么\)

那么\(E^{'}(B)=E(B)e^x\)

利用\((lnE(B))'=\frac{E'(B)}{E(B)}=e^x\)

那么\(ln(E(B))=e^x+c=ln(e^{e^x+c})\)

\(E(B)=e^{e^x+c}\)

当\(x=0\)时\(E(B)=e^{e^x+c}=1\)

\(c=-1\)

所以贝尔数的指数母函数\(E(B)=e^{e^x-1}\)