阶梯NIM和树上NIM

阶梯NIM

问题形式

有\(n\)个位置\(1....n\)，每个位置上\(a_i\)个石子。有两个人轮流操作。操作步骤是：挑选\(1.....n\)中任一一个存在石子的位置\(i\)，将至少1个石子移动至\(i−1\)位置（也就是最后所有石子都堆在在0这个位置）。谁不能操作谁输。求先手必胜还是必败。　　　　

结论

问题等价于，求位置为奇数的\(a_i\)的异或和，若异或和等于0，则先手必败，否则先手必胜。你可能已经注意到这非常像Nim游戏。其实这个游戏恰好等价于：将每个奇数位置的数x看成一堆有x个石子的石子堆，然后玩Nim游戏。

为啥

如果是先手且必胜，按照NIM博弈的方式移动奇数号，如果对手也移动奇数号，那么继续，如果对手移动偶数号（对于奇数号产生了影响），那么先手将对手移动的石子往下再移动，即是把对手操作从奇数号移动到奇数号，没有改变，那么先手必胜，必败也是同理

树上NIM

问题形式：

给定一棵树，每个点有点权，两个人玩NIM游戏

结论

深度为奇数的点权异或起来，如果非0，先手必胜。

为啥

不也相当于二维的阶梯博弈