幻方(附加生成五十阶以内幻方小程序)

 

有时又称魔方（该称呼现一般指立方体的魔术方块）或纵横图，由一组排放在正方形中的整数组成，其每行、每列以及两条对角线上的数之和均相等。通常幻方由从1到N²的连续整数组成，其中N为正方形的行或列的数目。因此N阶幻方有N行N列，并且所填充的数为从1到N²。

幻方可以使用N阶方阵来表示，方阵的每行、每列以及两条对角线的和都等于常数M₂(N)，如果填充数为1,2,3.....,N²，那么有

构造法：

　　根据构造方法的不同，幻方可以分成三类：奇数阶幻方、 4M阶幻方和 4M+2阶幻方，其中 M为自然数， 2阶幻方不存在。幻方构造法主要有：连续摆数法、阶梯法（楼梯法）、奇偶数分开的菱形法、对称法、对角线法、比例放大法、斯特雷奇法、LUX法、拉伊尔法（基方、根方合成法）、镶边法、相乘法、幻方模式等。

奇数阶幻方构造法

Siamese方法（Kraitchik 1942年，pp. 148-149）是构造奇数阶幻方的一种方法，说明如下：

• 把1放置在第一行的中间。
• 顺序将2,3,......数放在右上方格中。
• 当右上方格出界的时候，则由另一边进入。
• 当右上方格中已经填有数，则把数填入正下方的方格中。
• 按照以上步骤直到填写完所有N²个方格。

（由于幻方的对称性，也可以把右上改为右下、左上以及左下等方位）

以下图5阶幻方为例，1填写在(1,3)（第一行第三列）的位置上；2应当填写在其右上方格即(0,4)中，由于(0,4)超出顶边界，所以从最底行进入，即(5,4)；3填写在(5,4)的右上方格(4,5)中；4填写在(4,5)的右上方格(3,6)中，

由于(3,6)超出右边界，所以从最左列进入，即(3,1)；5填写在(3,1)的右上方格(2,2)中；6应该填写的方格(1,3)已经被1所占据，因此填写在(2,2)的正下方格(3,2)中；按照上面的步骤直到所有数填入。

阶	阶	阶

魔方阵不是唯一的，比如5阶魔方阵还可以是：

阶

偶数阶幻方构造法

4M阶幻方构造法

对于4M阶幻方一般都用对调法，制作起来很容易。如4阶幻方的排列法：

按如上图排列好，再将非主副对角线上的各个数关于中心对调，即成下图：

4M+2阶幻方构造法

加边法

以6阶为例子，先排出4阶的幻方，如上图，再将图中每一个数都加上8m+2=10，有下图：

结果如下：

LUX法

在（4M+2)×(4M+2）个方格的适当格点上，先排出2M+1阶的幻方。在前M+1行的格点，全部标上“L”；在第M+1行的中间格点标上“U”，其余格点标上“L”；在第M+2行的中间格点标上“L”，其余格点标上“U”；在余下的M-1行的格点全部标上“X”。将格点上的数乘以4再减4，再按下面的规则加上1至4其中一个数，填入对应的格上：

 4 1    1 4    1 4
  L      U      X
 2 3    2 3    3 2

例子：

[ 68  65  96  93   4   1  32  29  60  57 ]
   17L     24L      1L      8L     15L
[ 66  67  94  95   2   3  30  31  58  59 ]

[ 92  89  20  17  28  25  56  53  64  61 ]
   23L      5L      7L     14L     16L
[ 90  91  18  19  26  27  54  55  62  63 ]

[ 16  13  24  21  49  52  80  77  88  85 ]
    4L      6L     13U     20L     22L
[ 14  15  22  23  50  51  78  79  86  87 ]

[ 37  40  45  48  76  73  81  84  9   12 ]
   10U     12U     19L     21U      3U
[ 38  39  46  47  74  75  82  83  10  11 ]

[ 41  44  69  72  97  100  5  8   33  36 ]
   11X     18X     25X      2X      9X
[ 43  42  71  70  99  98   7  6   35  34 ]
附上我写的一个生成50阶以内幻方的程序（其实二十阶以上就已经没什么意义了....)：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF 0x3f3f3f3f
const ll MAXN = 1e2 + 7;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1);
int Matrix[50][50];
int t[50][50];
int n;
void Move_pos(int &x, int &y, int a[][50], int m) //奇数阶构造移动类二维指针函数
{                                                 //这里的奇数阶幻方构造方法是向右上填数字
    int tx = x, ty = y;
    x--, y++;
    if (x == 0)
        x += m;
    if (y == m + 1)
        y -= m;
    if (a[x][y])
        x = tx + 1, y = ty;
}
void pri_Mat()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            printf("%-4d ", Matrix[i][j]);
        printf("\n");
    }
}
void Siamese(int a[][50], int m)
{
    int pos_x = 1, pos_y = m / 2 + 1; //1在幻方中的位置
    int cnt = 1;                      //cnt为要填的数，初始为1
    a[pos_x][pos_y] = cnt++;
    while (cnt <= m * m) //m阶幻方要填m*m个数
    {
        Move_pos(pos_x, pos_y, a, m);
        a[pos_x][pos_y] = cnt++;
    }
}
int main()
{
    memset(Matrix, 0, sizeof(Matrix));
    memset(t, 0, sizeof(t));
    printf("请输入要形成的幻方阶数：");
    scanf("%d", &n);
    if (n % 2) //奇数阶构造法(Siamese方法)
        Siamese(Matrix, n);
    else if (n % 4 == 0)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = 1; j <= n; j++)
                Matrix[i][j] = (i - 1) * n + j;
        for (int i = 1; i < n / 2; i++)
            for (int j = i + 1; j <= n - i; j++)
                swap(Matrix[i][j], Matrix[n + 1 - i][n + 1 - j]);
        for (int i = 2; i <= n - 1; i++)
            for (int j = 1; j <= (i <= n / 2 ? i - 1 : n / 2 - i + 3); j++)
                swap(Matrix[i][j], Matrix[n + 1 - i][n + 1 - j]);
    }
    else
    {
        //lux构造4M+2幻方
        int m = n / 2;
        Siamese(t, m);
        for (int i = 1; i <= m; i++)
            for (int j = 1; j <= m; j++)
            {
                Matrix[2 * i - 1][2 * j - 1] = 4 * t[i][j];
                Matrix[2 * i - 1][2 * j] = 4 * t[i][j] - 3;
                Matrix[2 * i][2 * j - 1] = 4 * t[i][j] - 2;
                Matrix[2 * i][2 * j] = 4 * t[i][j] - 1;
                if ((i>m/2+2)||(i == m / 2 + 2 && j != m / 2 + 1) || ((i == m / 2 + 1) && (j == m / 2 + 1)))
                    swap(Matrix[2 * i - 1][2 * j - 1], Matrix[2 * i - 1][2 * j]);
                if (i == m)
                    swap(Matrix[2 * i][2 * j - 1], Matrix[2 * i][2 * j]);
            }
    }
    pri_Mat();
    return 0;
}