最小生成树-Prim算法和Kruskal算法

转载自：https://www.cnblogs.com/biyeymyhjob/archive/2012/07/30/2615542.html

Prim算法

1.概览

普里姆算法（Prim算法），图论中的一种算法，可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中，不但包括了连通图里的所有顶点（英语：Vertex (graph theory)），且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克（英语：Vojtěch Jarník）发现；并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆（英语：Robert C. Prim）独立发现；1959年，艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此，在某些场合，普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆－亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入：一个加权连通图，其中顶点集合为V，边集合为E；

2).初始化：V_new = {x}，其中x为集合V中的任一节点（起始点），E_new = {},为空；

3).重复下列操作，直到V_new = V：

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>，其中u为集合V_new中的元素，而v不在V_new集合当中，并且v∈V（如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边，则可任意选取其中之一）；

b.将v加入集合V_new中，将<u, v>边加入集合E_new中；

4).输出：使用集合V_new和E_new来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例	说明	不可选	可选	已选（Vnew）
	此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。	-	-	-
	顶点D被任意选为起始点。顶点A、B、E和F通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点，因此将A及对应边AD以高亮表示。	C, G	A, B, E, F	D
	下一个顶点为距离D或A最近的顶点。B距D为9，距A为7，E为15，F为6。因此，F距D或A最近，因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。	C, G	B, E, F	A, D
	算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。	C	B, E, G	A, D, F
	在当前情况下，可以在C、E与G间进行选择。C距B为8，E距B为7，G距F为11。E最近，因此将顶点E与相应边BE高亮表示。	无	C, E, G	A, D, F, B
	这里，可供选择的顶点只有C和G。C距E为5，G距E为9，故选取C，并与边EC一同高亮表示。	无	C, G	A, D, F, B, E
	顶点G是唯一剩下的顶点，它距F为11，距E为9，E最近，故高亮表示G及相应边EG。	无	G	A, D, F, B, E, C
	现在，所有顶点均已被选取，图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中，最小生成树的权值之和为39。	无	无	A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法：假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G₀

2).假设存在G_min使得cost(G_min)<cost(G₀)   则在G_min中存在<u,v>不属于G₀

3).将<u,v>加入G₀中可得一个环，且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈G_min)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立，命题得证.

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法，由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是，Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点，e个边

2).新建图Graph_new，Graph_new中拥有原图中相同的e个顶点，但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环：从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graph_new中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graph_new中

 

图例描述：

首先第一步，我们有一张图Graph，有若干点和边 

 

将所有的边的长度排序，用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序，对局部最优的资源进行选择，排序完成后，我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

依次类推我们找到了6,7,7，即DF，AB，BE。

下面继续选择， BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了（对于BC可以通过CE,EB来连接，类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连）。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了（这里上图的连通线用红色表示了）。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右：

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳，证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础：

n=1，显然能够找到最小生成树。

归纳过程：

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用，那么，在k+1阶图G中，我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作，即把u与v合为一个点v'，把原来接在u和v的边都接到v'上去，这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边)，G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法，如果T'+{<u,v>}不是最小生成树，最小生成树是T，即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>，否则，可以用<u,v>加入到T中，形成一个环，删除环上原有的任意一条边，形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>}，是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T')，也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>})，产生了矛盾。于是假设不成立，T'+{<u,v>}是G的最小生成树，Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法，Kruskal算法得证。

 例题：HDU-还是畅通工程（http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1233）

Prim-邻接矩阵写法：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF 0x3f3f3f3f
const ll MAXN = 1e3 + 7;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1);
int G[MAXN][MAXN]; //边的权值
int dist[MAXN];    //存放当前最小生成树到顶点最短边的权值
int vis[MAXN];     //是否被加入到最小生成树中
int n;
void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            G[i][j] = INF;
}
int Prim()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        dist[i] = INF;
        vis[i] = 0;
    }
    dist[1] = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int minn = INF;
        int p;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!vis[j] && minn > dist[j])
            {
                minn = dist[j];
                p = j;
            }
        vis[p] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (!vis[j])
                dist[j] = min(dist[j], G[p][j]);
    }
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        ans += dist[i];
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    while (cin >> n && n)
    {
        init();
        for (int i = 0; i < n * (n - 1) / 2; i++)
        {
            int x, y, len;
            cin >> x >> y >> len;
            G[x][y] = min(len, G[x][y]);
            G[y][x] = G[x][y];
        }
        cout <<Prim()<<endl;
    }
    return 0;
}

Kruskal：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
#define INF 0x3f3f3f3f
const ll MAXN = 1e5 + 7;
const ll MOD = 1e9 + 7;
const double pi = acos(-1);
int pre[MAXN];
int n;
struct node
{
    int u, v;
    int len;
    bool operator<(const node a)
    {
        return len<a.len;
    }
} G[MAXN];
void init()
{
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        pre[i] = i;
}
int find(int x) //查找根结点
{
    int r = x;
    while (r != pre[r]) //寻找根结点
        r = pre[r];
    int i = x, j;
    while (pre[i] != r) //路径压缩
    {
        j = pre[i];
        pre[i] = r;
        i = j;
    }
    return r;
}
int kruskal(int cnt)
{
    init();
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= cnt; i++)
    {
        int fa = find(G[i].u);
        int fb = find(G[i].v);
        if (fa != fb)
        {
            pre[fa] = fb;
            ans+=G[i].len;
        }
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    while (cin >> n && n)
    {
        for (int i = 1; i <= n * (n - 1) / 2; i++)
            cin >> G[i].u >> G[i].v >> G[i].len;
        sort(G + 1, G + n * (n - 1) / 2 + 1);
        cout << kruskal(n * (n - 1) / 2) << endl;
    }
    return 0;
}