差分矩阵（二维差分）

合集 - 1-1.基础算法(21)

1.论读书2023-10-252.快速排序2023-10-053.快速选择2023-10-064.归并排序2023-10-105.归并排序求逆序对的数量2023-10-116.二分查找（整数二分）2023-10-117.二分查找（浮点二分）2023-10-128.高精度加法2023-10-139.高精度减法2023-10-1310.高精度乘法2023-10-1511.高精度除法2023-10-1612.前缀和（一维）2023-10-1713.子矩阵的和（二维前缀和）2023-10-1814.差分（一维）2023-10-19

15.差分矩阵（二维差分）2023-10-20

16.最长连续不重复子序列（双指针）2023-11-2117.数组元素的目标和（双指针）2023-11-2118.判断子序列（双指针）2023-11-2219.位运算2023-11-2220.离散化2023-11-2221.区间合并2023-11-22

收起

一、算法描述

上一篇文章介绍了一维差分，本篇文章来介绍一下什么是二维差分。

含义

• 显然一维差分是一维前缀和的原数组，那么二维差分就是二维前缀和的原数组。

怎么求

• 跟一维一样，插入一遍即可，但是要注意每次插入要在同一个位置内插入，insert(i, j, i, j, a[i][j]);。

怎么用

• 一维差分是使得数组 $a[n]$ 在 $[l,r]$ 范围内的数都加上 $c$ ,那么二维差分的作用就是使得 $a[n][n]$ 在 $(x1,y1)$ 到 $(x2,y2)$ 范围内的数都加上 $c$ 。

• 差分操作的都是原数组 $b$ ，通过 $b$ 求一遍前缀和才能得到 $a$ ，也要注意我们操作的都是差分数组 $b$ ，那么我们如何操作 $b$ 才能得到上面的效果呢？

• 首先b[x1][y1] += c;，这样就会使得 $(x1,y1)$ 到右下角所有的数都加上 $c$ ，然后有一些是不需要加但是加了的，所以要减回来，b[x2 + 1][y1] -= c, b[x1][y2 + 1] -= c;，这样操作之后右下角有一块减了两次，所以还要再加回来一次，b[x2 + 1][y2 + 1] += c;，这样就可以达到效果了，建议读者在草稿纸上画一下，更好理解。

代码如下：

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

二、题目描述

输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个操作，每个操作包含五个整数 $x1,y1,x2,y2,c$，其中 $(x1,y1)$ 和 $(x2,y2)$ 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 $c$。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式

第一行包含整数 $n,m,q$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。

接下来 $q$ 行，每行包含 $5$ 个整数 $x1,y1,x2,y2,c$，表示一个操作。

输出格式

共 $n$ 行，每行 $m$ 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围

$1\le n,m\le 1000,$
$1\le q\le 100000,$
$1\le x1\le x2\le n,$
$1\le y1\le y2\le m,$
$-1000\le c\le 1000,$
$-1000\le \mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{内}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{的}\mathrm{值}\le 1000$

输入样例：

3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1 

输出样例：

2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2 

三、题目来源

AcWing算法基础课-798.差分矩阵

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> a[i][j];
            
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
            
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];
            
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        for (int j = 1; j <= m; ++j)    cout << a[i][j] << ' ';
        cout << endl;
    }
    
    return 0;
}