差分（一维）

合集 - 1-1.基础算法(21)

1.论读书2023-10-252.快速排序2023-10-053.快速选择2023-10-064.归并排序2023-10-105.归并排序求逆序对的数量2023-10-116.二分查找（整数二分）2023-10-117.二分查找（浮点二分）2023-10-128.高精度加法2023-10-139.高精度减法2023-10-1310.高精度乘法2023-10-1511.高精度除法2023-10-1612.前缀和（一维）2023-10-1713.子矩阵的和（二维前缀和）2023-10-18

14.差分（一维）2023-10-19

15.差分矩阵（二维差分）2023-10-2016.最长连续不重复子序列（双指针）2023-11-2117.数组元素的目标和（双指针）2023-11-2118.判断子序列（双指针）2023-11-2219.位运算2023-11-2220.离散化2023-11-2221.区间合并2023-11-22

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一、算法描述

本篇文章介绍前缀和的逆运算，差分。

什么是差分？

• 差分是前缀和的逆运算，比如 $a[n]$ 是原数组，$s[n]$ 是 $a[n]$ 的前缀和数组，那么对于 $s[n]$ 来说，$a[n]$ 就是 $s[n]$ 的差分数组。

• 假设原数组为 $a[n]$ ， $b[n]$ 为差分数组，那么他们之间的关系为：b[1] = a[1]，b[2] = a[2] - a[1]，b[3] = a[3] - a[2]。

差分有什么作用？

• 预处理出来前缀和可以在 $O(1)$ 的时间复杂度内求得区间 $[l,r]$ 的和。那么差分有什么作用呢？

• 如果我们要让 $[l,r]$ 区间内的数都加上 $c$ ，如果按照遍历的方式来操作那么时间复杂度会达到 $O(n)$ 。

• 但是我们知道前缀和数组 $a[n]$ 是由原数组 $b[n]$ 求得的，所以我们可以操作 $b[n]$ ，进而改变 $a[n]$ ，就变得简单多了。

• 那么如何操作 $b[n]$ 才能使得 $a[n]$ 在 $[l,r]$ 区间内都加上 $c$ 呢？显然如果b[l] += c，那么对于 $a[n]$ 来说 $l$ 后面的所有数都会加上 $c$ ，但是我们只需要 $[l,r]$ 区间内的数加上 $c$ ，所以还需要b[r + 1] -= c;，这样就能达到我们想要的效果了。

如何得到差分？

• 给定一个原数组 $a[n]$ ，如何求得差分数组 $b[n]$ 呢？

• 其实很简单，由于 $b[n]$ 刚开始都是 $0$ ，所以插入一遍即可，insert(i, i, a[i])。

• 因为由 $b$ 得到的前缀和此时都是 $0$ ，每插入一次就会让得到的前缀和变成 $a[i]$ ，插入一遍后，通过 $b$ 求得的前缀和就是 $a$ ，所以此时 $b$ 就是 $a$ 的差分。

• 注意insert(i, i, a[i]) 是在操作 $b$ 数组不是 $a$ 数组，通过 $b$ 求一遍前缀和才能得到 $a$数组。

二、题目描述

输入一个长度为 $n$ 的整数序列。

接下来输入 $m$ 个操作，每个操作包含三个整数 $l,r,c$ 表示将序列中 $[l,r]$ 之间的每个数加上 $c$。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$。

第二行包含 $n$ 个整数，表示整数序列。

接下来 $m$ 行，每行包含三个整数 $l,r,c$，表示一个操作。

输出格式

共一行，包含 $n$ 个整数，表示最终序列。

数据范围

$1\le n,m\le 100000,$
$1\le l\le r\le n,$
$-1000\le c\le 1000,$
$-1000\le \mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{序}\mathrm{列}\mathrm{中}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{的}\mathrm{值}\le 1000$

输入样例：

6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1 

输出样例：

3 4 5 3 4 2 

三、题目来源

AcWing算法基础课-797.差分

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int a[N], b[N];

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    insert(i, i, a[i]);
    
    while (m -- )
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        
        insert(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    a[i] = a[i - 1] + b[i];
    for (int i = 1; i <= n; ++i)    cout << a[i] << ' ';
    
    return 0;
}