子矩阵的和（二维前缀和）

合集 - 1-1.基础算法(21)

1.论读书2023-10-252.快速排序2023-10-053.快速选择2023-10-064.归并排序2023-10-105.归并排序求逆序对的数量2023-10-116.二分查找（整数二分）2023-10-117.二分查找（浮点二分）2023-10-128.高精度加法2023-10-139.高精度减法2023-10-1310.高精度乘法2023-10-1511.高精度除法2023-10-1612.前缀和（一维）2023-10-17

13.子矩阵的和（二维前缀和）2023-10-18

14.差分（一维）2023-10-1915.差分矩阵（二维差分）2023-10-2016.最长连续不重复子序列（双指针）2023-11-2117.数组元素的目标和（双指针）2023-11-2118.判断子序列（双指针）2023-11-2219.位运算2023-11-2220.离散化2023-11-2221.区间合并2023-11-22

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一、算法描述

上一篇文章介绍了一维前缀和，也就是一个数组的前n项和，这篇文章来介绍一下什么是二维前缀和。

含义

• 一维的是前n项的和，那么二维的情况下，表示的则是与左上角形成的矩形和。

怎么求

• 一维的递推关系式是s[i] = s[i - 1] + a[i];，我们根据含义来思考二维的递推关系式，读者可以在草稿纸上画一个矩形来更好的理解。

• $s[i][j]$ 表示的是 $i,j$ 这个位置与左上角形成的矩形和，$s[i-1][j]$ 表示的是比 $s[i][j]$ 少一行的矩形和， $s[i][j-1]$ 表示的是比 $s[i][j]$ 少一列的矩形和。

• 用 $s[i-1][j]+s[i][j-1]$ 得到的就是 $s[i][j]$ ，但是少了一个 $a[i][j]$ ，同时多了一个 $i-1,j-1$ 与左上角形成的矩形和，即 $s[i-1][j-1]$。

• 综上可以得到求得 $s[i][j]$ 的递推关系式为:s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];，读者应在草稿纸上自己推理，不要纯靠记忆。

怎么用

• 一维前缀和的用法在 $O(1)$ 的时间复杂度内求得 $[l,r]$ 的区间和，那么二维前缀和则是在 $O(1)$的时间复杂度内求得 $[x1,y1]$ 到 $[x2,y2]$这个区域的矩形和。

• 显然我们要用 $s[i][j]$ 这块大面积来减去其他的面积，那么需要减去哪些部分呢？大家自行在草稿纸上推演，计算如下：s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1];，根据含义来思考如何推算。

二、题目描述

输入一个 $n$ 行 $m$ 列的整数矩阵，再输入 $q$ 个询问，每个询问包含四个整数 $x1,y1,x2,y2$，表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

对于每个询问输出子矩阵中所有数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 $n，m，q$。

接下来 $n$ 行，每行包含 $m$ 个整数，表示整数矩阵。

接下来 $q$ 行，每行包含四个整数 $x1,y1,x2,y2$，表示一组询问。

输出格式

共 $q$ 行，每行输出一个询问的结果。

数据范围

$1\le n,m\le 1000,$
$1\le q\le 200000,$
$1\le x1\le x2\le n,$
$1\le y1\le y2\le m,$
$1000\le \mathrm{矩}\mathrm{阵}\mathrm{内}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{的}\mathrm{值}\le 1000$

输入样例：

3 4 3
1 7 2 4
3 6 2 8
2 1 2 3
1 1 2 2
2 1 3 4
1 3 3 4 

输出样例：

17
27
21 

三、题目来源

AcWing算法基础课-796.子矩阵的和

四、源代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            cin >> a[i][j];
        
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= m; ++j)
            s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];
            
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
        
        cout << s[x2][y2] - s[x2][y1 - 1] - s[x1 - 1][y2] + s[x1 - 1][y1 - 1] << endl;
    }
    
    return 0;
}