高精度减法

合集 - 1-1.基础算法(21)

1.论读书2023-10-252.快速排序2023-10-053.快速选择2023-10-064.归并排序2023-10-105.归并排序求逆序对的数量2023-10-116.二分查找（整数二分）2023-10-117.二分查找（浮点二分）2023-10-128.高精度加法2023-10-13

9.高精度减法2023-10-13

10.高精度乘法2023-10-1511.高精度除法2023-10-1612.前缀和（一维）2023-10-1713.子矩阵的和（二维前缀和）2023-10-1814.差分（一维）2023-10-1915.差分矩阵（二维差分）2023-10-2016.最长连续不重复子序列（双指针）2023-11-2117.数组元素的目标和（双指针）2023-11-2118.判断子序列（双指针）2023-11-2219.位运算2023-11-2220.离散化2023-11-2221.区间合并2023-11-22

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一、算法描述

要实现两个高精度数的减法，和高精度加法一样都是模拟竖式计算的过程，主要就是解决以下两个问题。

谁大谁小？

由于这两个数字都很大，但是不知道谁更大，所以要先判断哪个数更大，思路如下：

• 判断这两个数谁的位数更大，位数更大的自然更大。

• 如果位数不相同，从最高位开始往低位遍历，判断两个数字是否相等，更大的那个原本的数字也更大。

• 如果都一样，即默认是前面一个数更大，并不影响后面的操作。

代码如下：

bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() != B.size())   return A.size() > B.size();
    else
        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i)
            if (A[i] != B[i])
                return A[i] > B[i];
    return true;
}

如何计算？

解决了正负问题，现在来解决如何实现大数减小数。

• 这依然是一个模拟问题，思考如何列竖式计算两个数的减法。

• 从小到大遍历第一个数(第一个数不小)，t += A[i]，如果第二个数在当前位数还有数，减去该数，t -= B[i]，还有别忘了处理前一位计算可能产生的借位。

• 将计算结果加入到答案数组中，由于t有两种情况，t >= 0 || t < 0，所以可以统一处理：(t + 10) % 10。

• 当t < 0时，就是产生了借位，令t = -1，方便下一轮处理，否则令t = 0表示没有产生借位。

• 最后还需要注意，如果两个数差距非常小，即最后的结果产生了很多前导 $0$ ，此时我们需要消除,因为输出的时候不需要这些前导 $0$。

• 但是也要注意如果两个数相等，那么最后的结果是 $0$ ，要保留最后一个 $0$。

经过优化之后代码如下：

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    
    for (int i = 0; i < A.size(); ++i)
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size())   t -= B[i];
        
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0)  t = -1;
        else    t = 0;
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0)   C.pop_back();
    
    return C;
}

说明：

• $|A|+|B|$可以转化为 $A+B、A-B、B-A、-(A+B)$ 这四种情况，都是可以用高精度加减法解决的，只需要特殊处理一下输入即可，所以当前讨论的都是正整数。

二、题目描述

给定两个正整数（不含前导 $0$ ），计算它们的差，计算结果可能为负数。

输入格式

共两行，每行包含一个整数。

输出格式

共一行，包含所求的差。

数据范围

$1\le \mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{长}\mathrm{度}\le {10}^5$

输入样例：

32
11 

输出样例：

21 

三、题目来源

AcWing算法基础课-792.高精度减法

四、源代码

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 100010;

bool cmp(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    if (A.size() != B.size())   return A.size() > B.size();
    else
        for (int i = A.size() - 1; i >= 0; --i)
            if (A[i] != B[i])
                return A[i] > B[i];
    
    return true;
}

vector<int> sub(vector<int> &A, vector<int> &B)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    
    for (int i = 0; i < A.size(); ++i)
    {
        t += A[i];
        if (i < B.size())   t -= B[i];
        
        C.push_back((t + 10) % 10);
        if (t < 0)  t = -1;
        else    t = 0;
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0)   C.pop_back();
    
    return C;
}

int main()
{
    string a, b;
    cin >> a >> b;
    
    vector<int> A, B;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; --i) A.push_back(a[i] - '0');
    for (int i = b.size() - 1; i >= 0; --i) B.push_back(b[i] - '0');
    
    vector<int> C;
    if (cmp(A, B))  C = sub(A, B);
    else
    {
        cout << "-";
        C = sub(B, A);
    }
    
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; --i) cout << C[i];
    
    return 0;
}