PaperRead - Efficient Booleans algorithms for triangulated meshes of geometric modeling

Paper - Efficient Booleans algorithms for triangulated meshes of geometric modeling

目录

• Paper - Efficient Booleans algorithms for triangulated meshes of geometric modeling
  • 2. Methods
    • 2.1 相交检测
      • 2.1.1 Building Octree of the common space
    • 2.1.2 Floating point arithmetic errors and singularity of intersections
    • 2.1.3 计算相交线
    • 2.1.4. 对相交三角形重新三角化
  • 2.2 布尔运算
    • 2.2.1. Point classify（对相交三角形的顶点进行判断）
    • 2.2.2. create sub-meshes and merging them

https://www.researchgate.net/publication/290466350_Efficient_Booleans_algorithms_for_triangulated_meshes_of_geometric_modeling

Jiang X, Peng Q, Cheng X, et al. Efficient Booleans algorithms for triangulated meshes of geometric modeling[J]. Computer-aided Design and Applications, 2016, 13(4): 419-430.

更多introduction的介绍可以直接看原文，这里主要介绍文中使用的具体实现。

2. Methods

更个过程分为两个阶段：两个mesh之间的相交检测和布尔运算。如下图Fig2。

这篇文章的主要贡献点如下：

1. 利用八叉树对两个网格的公共空间进行划分，以加快交叉点检测的速度，减少内存占用；
2. 分析了浮点运算误差和交叉口奇异性，提高了算法的稳定性；
3. 为了实现并、交、差运算，提出了基于相交三角形的稳定技术。该方法对封闭网格和开放网格都是快速的；
4. 该算法具有较强的鲁棒性，可用于含有大量布尔差分运算的铣削仿真系统中；

2.1 相交检测

相交检测在布尔运算中是很重要的一布。

2.1.1 Building Octree of the common space

对于两个相交的mesh而言，相交部分的空间的大小是小的。octree能够利用空间划分加速相交测试。

给定两个网格\(S_A\)和\(S_B\)。\(Box_A\)和\(Box_B\)分别为\(S_A\)和\(S_B\)的最小AABB。公式如下：

\[Box_A = \bigg ( \begin{array}{l} x_{Amax},y_{Amax},z_{Amax} \\ x_{Amin}, y_{Amin}, z_{Amin} \end{array} \bigg ) \]

\(Box_B\)可以用相同方式计算。两个的交集如下：

\[Box_A \cap Box_B = \bigg ( \begin{array}{l} min(x_{Amax}, x_{Bmax}), min(y_{Amax}, y_{Bmax}), min(z_{Amax}, z_{Bmax}) \\ max(x_{Amin}, x_{Bmin}), max(y_{Amin}, y_{Bmin}), max(z_{Amin}, z_{Bmin}) \end{array} \bigg ) \]

为了保证能够把相交三角形都包含在内部，对上面的式子进行了扩展，如下：

\[Box_A \cap Box_B = \bigg ( \begin{array}{l} min(x_{Amax}, x_{Bmax}) + l, min(y_{Amax}, y_{Bmax}) + l, min(z_{Amax}, z_{Bmax}) + l \\ max(x_{Amin}, x_{Bmin}) - l, max(y_{Amin}, y_{Bmin}) - l, max(z_{Amin}, z_{Bmin}) - l \end{array}\bigg ) \]

其中\(l\)为\(S_A\)和\(S_B\)中的最长边。

2.1.2 Floating point arithmetic errors and singularity of intersections

浮点运算在计算几何中是不可避免的。尤其是布尔运算，在计算相交性的时候会经常用到。浮点运算会导致求交的不连续性，从而进一步导致布尔运算的失败。

布尔运算相关的相交计算，可以认为是很多的ray-triangle之间的测试。将一条射线与一个三角形相交比普通的“解决方案”问题要大得多。

上图说明了为什么浮点运算会引起最后结果计算失败。也展示了如何进行鲁棒性更强的计算。图4a所示，一条射线与\(\triangle abc\)和\(\triangle abd\)的公共边ab相交。由于浮点计算误差的存在，可能出现这种情况，在计算\(\triangle abc\)和射线R的交点的时候，计算出点p稍微在ab的右边，在计算\(\triangle abd\)和射线R的交点的时候，计算出点p稍微在ab的左边。这样判断的结果是射线和\(\triangle abc\)、\(\triangle abd\)都不相交。为了使得检测具有更高的鲁棒性，将射线认为是“fat”点的几何体。图4d所示。

fat test就是容忍度的问题。如图e所示，计算的时候得到两条线的交点为\(P(x',y')\)，给定容忍度\(\epsilon\)，P左边的直线的距离小于容忍度，就认为点在左边的直线上。

交叉点的奇异性也会破坏相交计算。奇异性通常发生在边和面之间具有不同的角度的时候。四面体的一条边和top面以很大的角度相交，而和front面以较小的角度相交。这两个面共享ef边。在相交检测的时候，m点到ef边的距离为d1小于容忍度，m*和ef边的距离d2大于容忍度，但对于上表面而言，点m位于ef边上，这样就产生了奇异性。这样四面体就和front面相交了两次，这将破坏交叉循环（？？？），因此算法将失败。

2.1.3 计算相交线

相交线计算的时候需要考虑两种情况，共面还是不共面，针对共面问题，可以转换为2D 三角形相交问题（注意：此处需要注意的是，针对共面的情况，有两种，一种是两个三角形共面，另一种是一个三角形的边和另一个三角形共面）。这里主要介绍不共面时候相交线的计算。为了保证交叉点的连续性，提出了一种改进的交叉点检测策略。

通常情况下，有三种相交情况（如下图所示）：

• 交点为边的顶点，EndP；
• 在边上有一个交点，EdgeP；
• 面内有一个交点，FaceP；

注意：下图对论文中的相交的场景，额外补充了两种场景。此时对应的相交情况如下（其中边是一个三角形的，面是另一个三角形的，令EdgeV的权重为2，EdgeP的权重为1，FaceP的权重为0）：

• 边的顶点，面内的点；EdgeVFaceP, EdgeVFaceP (2+0 = 2)
• 边的顶点，面的顶点；EdgeVFaceV, EdgeVEdgeV (2+2=4)
• 边的顶点，面的边上的点；EdgeVFaceE, EdgeVEdgeP (2+1=3)
• 边上的点，面内的点；EdgePFaceP, EdgePFaceP (1+0=1)
• 边上的点，面的顶点；EdgePFaceV, EdgePEdgeV (1+2=3)
• 边上的点，面的边上的点；EdgePFaceE, EdgePEdgeP (1+1=2 )

同时考虑到一个边和一个面最多有一个交点，相同的一个点可能被不同的相交对共享。

三种交点的权重比为：EndP > EdgeP > FaceP。

在上面的场景中，计算得到两个交点m和m*。他的相交计算过程可以描述如下（假设top和front都是三角形）：

• 计算边和三角形Top的交点，得到交点位于边和三角形Top的边ef上面；
• 计算边和三角形Front的交点，得到交点位于边和三角形Front的面上；
• 然后发现，这条边已经和三角形Front的边ef有交点了，
• 那么就需要通过交点的权重，对交点进行取舍，保留交点m；

根据相交类型m为EdgeP，m*为FaceP。因此m的权重比m*大，m*的坐标和特点被认为和m是一致的。算法的详细伪代码如下（TODO：伪代码应该需要修正）：

Algorithm 1 Calculate intersection lines
for each pair of triangles (T1, T2) do
    for each edge e \in T1 do
        m = Intersection(e, T2);
		// 1.如果e和T2的交点类型为EndP，需要将e和交点周边的其他三角形的也要进行记录该交点
        // 2.如果e和T2的交点的类型为EdgeP，需要将e和边相邻的其他三角形的也需要记录该交点
		// 3.存储<edge,triangle>对应的交点
		// 4.判断e和三角形T2是不是还有其他的交点
		// 5.如果有则按照优先级，对点的特性和坐标值进行修正
        if (exist_intersection(e, T2) && m* = Intersection(e, T2))
            Properties(m) = Properties(m*) = Priority(m,m*)
            Coordinate(m*) = Coordinate(m)
    end for
    for each edge e \in T2 do
        m = Intersection(e, T1)
        if (exist_intersection(e, T1) && m* = Intersection(e, T1))
            Properties(m) = Properties(m*) = Priority(m,m*)
            Coordinate(m*) = Coordinate(m)
    end for
end for

需要对伪代码进行修正，修正后如下：

Algorithm 1 Calculate intersection lines
for each pair of triangles (T1, T2) do
    for each edge e \in T1 do
        m = Intersection(e, T2);
        // 具体实现的时候需要区分哪些是已经通过计算了的，哪些是推导出来的，为了避免后面的重复计算
		switch Case(m)
        {
		case EdgeVFaceP:
        	add edge face pair around edge v in VecIntersectionPair;
        case EdgePFaceV:
            add edge face pair around face v in VecIntersectionPair;
        case EdgeVFaceV:
            add edge face pair around edge v in VecIntersectionPair;
            add edge face pair around face v in VecIntersectionPair;
        case EdgeVFaceE:
        	add edge face pair around edge v in VecIntersectionPair;
        	add edge face pair around face e in VecIntersectionPair;
        case EdgePFaceE:
        	add edge face pair around face e in VecIntersectionPair;
        case EdgePFaceP:
        	add edge face pair in VecIntersectionPair;        	
        }

		// 判断VecIntersectionPair中是否存在交点，如果有则取出来，并对其进行更改
        // if (exist_intersection(e, T2) && m* = Intersection(e, T2))
        //    Properties(m) = Properties(m*) = Priority(m,m*)
        //    Coordinate(m*) = Coordinate(m)
    end for
    for each edge e \in T2 do
        // similar logic as above
    end for
end for

2.1.4. 对相交三角形重新三角化

相交的三角形上，通常会有多个相交线段，这些相交线段将三角形划分为多个多边形面。（如何划分？？）接下来这些多边形需要被三角化。

• Recursive ear cutting algorithm很简单容易实现，但是性能比较差，不容易扩展处理空洞的情况；
• incremental randomized算法，性能不错，但不容易实现；
• sweep line算法是当前使用最广泛的实现，文中采用了Poly2Tri（Wu L.: Poly2Tri: Fast and Robust Simple Polygon Trian-gulation With/ Without Holes by Sweep Line Algorithm,http://sites-final.uclouvain.be/mema/Poly2Tri/, 2005.），相关代码实现:https://github.com/greenm01/poly2tri

文中并没有指出，该如何去获取三角形之间的相交线段，该如何获取呢？

像图中的多边形，可以将其划分为多个区域然后分别采用，greenm01/poly2tri: Automatically exported from code.google.com/p/poly2tri (github.com)进行剖分。

对应的论文解析，可以参见：PaperRead - Sweep-line algorithm for constrained Delaunay triangulation - grassofsky - 博客园 (cnblogs.com)

2.2 布尔运算

文中的方法分为两部分：

• 区分一个点是mesh内部的还是外部的；
• 创建sub-meshes，然后进行merge；

本文中仅对属于相交三角形的点进行了区分。

2.2.1. Point classify（对相交三角形的顶点进行判断）

假设mn为\(\Delta abc\)和\(\Delta def\)的交线。这两个三角形分别属于不同的mesh。\(n_{abc}\)和\(n_{def}\)分别是\(\Delta abc\)和\(\Delta def\)的法向量，具体为\((x_{n1}, y_{n1}, z_{n1})\), \((x_{n2}, y_{n2}, z_{n2})\)。\(p(x_1,y_1,z_1)\)和\(q(x_2,y_2,z_2)\)分别是\(\Delta abc\)和\(\Delta def\)的上面的一个点。那么平面方程如下：

\[F_{abc}(x,y,z) = (x-x_1)x_{n1} + (y-y_1)y_{n1} + (z-z_1)z_{n1} = 0 \\ F_{def}(x,y,z) = (x-x_2)x_{n2} + (y-y_2)y_{n2} + (z-z_2)z_{n2} = 0 \]

上图中，两个三角形相交于m，n点，对a，c，e，d点的内外位置进行判断。a位于包含\(\Delta def\)的mesh的内部，d位于包含\(\Delta abc\)的mesh的内部。c，e点位于外部。对于退化的相交场景，至少一个三角形的一个点在另一个三角形对应的mesh上。当相交三角形的所有顶点都进行了判断，分别标记了“in”，“out”，“on”，下面就要进行sub-meshes的创建。

注意：此处对于点in out的判断会存在误判的情况，特别是当点位于边界的情况，针对这种情况，在计算位置的时候考虑第四种情况，UNKNOW。

2.2.2. create sub-meshes and merging them

不同类型的mesh定义：

• \(M_A\), \(M_B\)待处理的两个mesh；
• \(M_{AinB}\)，来自\(M_A\)位于\(M_B\)内部的三角形集合；
• \(M_{AoutB}\)，来自\(M_A\)位于\(M_B\)外部的三角形集合；
• 同理定义：\(M_{BinA}, M_{BoutA}\);
• \(M_{onAB}\)：同时属于\(M_A\), \(M_B\)的网格（共面相交的时候）；

那么不同布尔操作的结果如下：

• \(M_A \cup M_B (union):\ M_{AoutB} + M_{BoutA} + M_{onAB}\)
• \(M_A \cap M_B (intersection): \ M_{AinB} + M_{BinA} + M_{onAB}\)
• \(M_A - M_B(difference):\ M_{AoutB} + M_{BinA}\)

具体伪代码类似如下：

// M_new: 新的空的网格
// V'_new: the set of intersected points 交点的集合
// for each V labeled "in" && V not in M_new do  遍历网格A中标记为in的顶点V && 顶点V不在新的网格内
//   add V into a contain Ver_C 将顶点V添加到container Ver_C中
//   for each V_c in Ver_C do 遍历Ver_C中的每个点Vc
//     search all neighbouring vertexes V_nei_C and triangles T_nei_C of V_c 找到V_c的相邻的顶点和相邻的三角形
//     for each V' in V_nei_C && V' not in V'_new && V' not in M_new do
//     遍历邻域中的每个点，并且这个点不是相交点，没有被包含到新的mesh中
//       add V' into M_new; 将这个邻近点添加到新的网格中
//       add V' into Ver_C; 将这个点添加到container Ver_C中
//     end for
//     for each T' in T_nei_C && T' not in M_new do
//       add T' into M_new
//     end for
//     remove V_c from Ver_C;
//   end for
// end for

计算过程示意图如下：

注意：按照上述方法计算的时候，还需要额外考虑，部分三角形会由所有的交点组成的情况。类似如下：

绿色标记部分为交点组成的三角形，那么利用上述的生长的方法进行三角形生长的时候，并不会包含绿色区域。因此，对算法进行了改进：

M_new: 新的空的网格
V'_new: the set of intersected points 交点的集合
E'_new: 相交线段的集合
for each V labeled "in" && V not in M_new do  遍历网格A中标记为in的顶点V && 顶点V不在新的网格内
   add V into a contain Ver_C 将顶点V添加到container Ver_C中
   for each V_c in Ver_C do 遍历Ver_C中的每个点Vc
     search all neighbouring vertexes V_nei_C and triangles T_nei_C of V_c 找到V_c的相邻的顶点和相邻的三角形
     for each V' in V_nei_C do 
       if V' not in V'_new && V' not in M_new do
          遍历邻域中的每个点，并且这个点不是相交点，没有被包含到新的mesh中
          add V' into M_new; 将这个邻近点添加到新的网格中
          add V' into Ver_C; 将这个点添加到container Ver_C中
     end for
     for each T' in T_nei_C && T' not in M_new do
       add T' into M_new
       获取三角形T'中V_c的对边E_V_c
       将对边E_V_c添加到容器中E_V_c_c
       while E_V_c_c 还有值
       	  get E_V_c from E_V_c_c
          if  E_V_c有效 && E_V_c的两个顶点都是交点 && E_V_c不是相交线段 do
             add E_V_c的相邻三角形 T'' into M_new
             找到T''三角形不是相交线段的其他边**可能存在不是相交线的两条边**）赋值给 E_V_c_c
          endif
     end for
     remove V_c from Ver_C;
   end for
end for