PaperRead - A fast triangle-triangle intersection test

Moller T. A fast triangle-triangle intersection test[J]. Journal of Graphics Tools, 1997, 2(2): 25-30.

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来描述下已知条件：

• 三角形\(T_1\)和\(T_2\);
• 三角形\(T_1\)的顶点为\(V_0^1,V_1^1,V_2^1\),三角形\(T_2\)的顶点为\(V_0^2,V_1^2,V_2^2\);
• 三角形\(T_1\)所在的平面为\(\pi_1\);三角形\(T_2\)所在的平面为\(\pi_2\)。

首先确定平面\(\pi_2\)的方程如下：

\[N_2\cdot X + d_2 = 0 \]

其中X是平面上的任意一点，\(N_2\)和\(d_2\)如下：

\[N_2 = (V_1^2 - V_0^2) \times (V_2^2 - V_0^2) \\ d_2 = -N_2 \cdot V_0^2 \]

上面公式就是平面方程的一般形式，可以写成如下形式，更加容易理解：

\[N_2\cdot (X - V_0^2) = 0 \]

那么三角形\(T_1\)的三个顶点到平面\(\pi_2\)的距离可以通过带入上面的公式直接计算得到，如下：

\[d_{V_i^1} = N_2 \cdot (V_i^1 - V_0^2), \ i=0,1,2 \]

如果\(d_{V_i^1} \ne 0\)，并且所有的值都有相同的符号，那么三角形\(T_1\)位于平面\(\pi_2\)的一侧，那么三角形之间是没有交叠的；对于三角形\(T_2\)和平面\(\pi_1\)也用相同的处理方式。

如果所有的\(d_{V_i^1} = 0\)，那么三角形是共面的；如果不是，那么平面\(\pi_1\)和\(\pi_2\)相交一条线，\(L = O + tD\)，其中\(D = N_1 \times N_2\)是线的方向，\(O\)是线上的一个点。如果相交的线段有重叠，那么两个三角形相交，如下图。

直线L与三角形，相交段计算。假设我们需要计算三角形\(T_1\)和直线\(L\)之间的相交线段，假设\(V_0^1\)和\(V_2^1\)位于平面\(\pi_2\)的同一侧，\(V_1^1\)位于平面的另一侧。先将顶点投影到直线L上，如下：

\[p_{V_i^1} = D\cdot (V_i^1 - O) \]

从上图可见，三角形\(V_0^1BK_0^1\)和三角形\(V_1^1BK_1^1\)相似。那么可以得到：

\[t_1 = p_{V_0^1} + (p_{V_1^1} - p_{V_0^1})\frac{d_{V_0^1}}{d_{V_0^1} - d_{V_1^1}} \]

同理可得t2，同理可以得到三角形\(T_2\)上的相交线段。

如果两个线段有重叠，那么两个三角形相交。

如果两个三角形共面。那么将三角形投影到能够得到最大面积的axis-aligned plane上。接下来执行二维三角形相交测试即可。

优化

由于L线上的重叠关系是针对线段区间的，只针对相交测试的话，求\(p_{V_i^1}\)的公式可以简化为：

\[p_{V_i^1} = D\cdot V_i^1, \ i=0,1,2 \]

又由于重叠关系在投影到最近的一条轴上的时候，仍然保留，因此可以进一步简化为：

\[p_{V_i^1} = \left\{ \begin{array}{rcl} V_{ix}^1, \ if |D_x| = max(|D_x|, |D_y|, |D_z|) \\ V_{iy}^1, \ if |D_y| = max(|D_x|, |D_y|, |D_z|) \\ V_{iz}^1, \ if |D_z| = max(|D_x|, |D_y|, |D_z|) \\ \end{array} ,\ i=0,1,2. \right. \]

小结

整个算法流程如下：

1. 计算三角形2的平面方程；
2. 如果三角形1的顶点都在三角形2的同一侧，那么不相交；
3. 计算三角形1的平面方程；
4. 如果三角形2的顶点都在三角形1的同一侧，那么不相交；
5. 计算两个平面的相交线，并投影到最大的轴上；
6. 计算相交线和每个三角形的相交的线段；
7. 判断两个三角形的上相交的线段之间的关系；

目前算法对于三角形退化成直线或点的情况没有考虑。

Others

其他类似的判断三角形相交的算法见：快速检测空间三角形相交算法的代码实现(Devillers & Guigue算法)