一道数论题目

题目

有100盏灯，编号1-100，初始时都是亮着灯。有一百个小孩，编号1-100。每盏灯对应一个开关，按下时灯亮，再按则灯灭。让这一百个小孩依次按开关，每个小孩只能按其编号倍数的开关。比如1号小孩可以按所有开关，2号小孩只能按编号为偶数的开关，以此类推。请问所有的小孩都按过开关以后（注意：每个小孩都必须按下所有他能按下的灯），哪些灯是亮着的？

答案

编号为平方数的灯是亮着的，1， 4， 9， 。。。 100。

分析

对于任意一盏灯的开关，如果被按了奇数次，那么最终它是亮着的，哪些灯的开关会被按奇数次呢？假设某一盏灯的编号为n，如果n有奇数个约数，那么这盏灯将被按奇数次。

对于任意一个正整数n，它的约数都是成对出现的，也就是说，如果k是n的约数，那么n/k也是n的约数，但是有一个例外，就是当n是平方数，且k=sqrt(n)时，k与n/k是相同的，也就是说平方数的约数有奇数个。所以。。。