也谈杨辉三角形

很久没更新博客了，来篇水的。今天看见有位兄弟写了杨辉三角形，记得以前自己也研究过，索性也发一篇，欢迎讨论。

来历

杨辉三角形也叫贾宪三角形，西方叫帕斯卡三角形，其实就是各阶二项式系数排列起来构成的三角形，如下。每行的数字实际上是(a + b) ^ n展开后的结果。

          1
         1 1
        1 2 1
       1 3 3 1
      1 4 6 4 1

历史上发现这个三角形的人很多，这里介绍几个主要的，北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。杨辉，字谦光，南宋时期杭州人。在他1261年所著的《详解九章算法》一书中，辑录了如上所示的三角形数表，称之为“开方作法本源”图。欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

编程输出杨辉三角形

方法一

使用二维数组计算并存储各行数字然后输出，如果不考虑每行左侧空格的话，上面的三角形可以写成如下形式

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

根据观察我们发现，第一列和对角线上的数字都是1，其他数字则是其左上方数字和正上方数字之和，如下图，其中数字1被标记成红色，因为1是我们预先设置好的，图中的白色数字为合成数字，合成数字是由1或者其他已经存在的数字相加而成的。比如数字2是由其上方的1和左上方的1相加而成，第一个3是由其上方的2和左上方的1相加而成。

设p是存储数字的二维数组，设i和j分别表示p的行号和列号，则有

• 如果j == 0 或 j == i，则p[i][j] = 1 ;
• 否则，p[i][j] = p[i - 1][j] + p[i - 1][j - 1] ;

有了上面的分析，写代码就不再是难事了。

// 打印杨辉三角形，参数n是层数
void YanghuiTriangle(int n)
{
    //定义二维数组并初始化
    int **p = new int*[n] ;
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        p[i] = new int[n] ;
        for(int j = 0; j < n; ++j)
            p[i][j] = 0 ;
    }

    // 填充并输出
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        for(int j = 0; j <= i; ++j)
        {
            // 第一列和对角线列的元素置1
            if(j == 0 || j == i)
                p[i][j] = 1 ;
            // 其他元素是其上方元素和左上方元素之和
            else
                p[i][j] = p[i - 1][j] + p[i - 1][j - 1] ;
            cout << p[i][j] << " " ;
        }

        cout << endl ;
    }
}

输出如下

方法二

方法一的优点是直观，代码好写，但是缺点是如果层数n很大的话，那么将需要很大的存储空间(n * n)，而这么大的空间中有一半被浪费掉了。下面这个方法使用一维数组实现，空间上只要n即可。思路是逐行计算并输出，举个例子，假设我们要输出5行（n = 5），我们先计算并输出第一行，然后计算并输出第二行，...，最后是第五行，因为每行的数字个数不超过行数n，所以一个含有n个元素的一维数组就可以胜任了，只不过这个一维数组中的数字是不断变化的（除了第一个元素），我们用新增的元素覆盖掉了原来的元素。下图展示了这个一维数组的变化过程。其中红色字数字表示每次迭代新增的数字。可见这种方法中第一列数字1始终保持不变。

1 首先定义一个含有n个元素的一维数组，且第一个元素初始化为1，其他元素初始化为0

2 对于每一行的计算，除了第一元素之外，其他所有元素都由其本身的值加上其前一个值构成，注意，计算的方向是从后向前，如果从前向后的话，元素本来的值将被覆盖。

代码如下

// 打印杨辉三角形，参数n是层数
void YanghuiTriangle(int n)
{
    // 定义一个一维数组
    int* a = new int[n] ;
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        a[i] = 0 ;
    a[0] = 1 ;

    for (int i = 0; i < n; ++i)
    {
        // 计算当前行的数字，注意要从后向前计算，否则会覆盖以前的值
        for (int j = i; j > 0; --j)
            a[j] += a[j - 1];

        // 打印空格
        for (int j = 0; j < n - i; ++j)
            cout << " " ;

        // 打印数字
        for (int j = 0; j < i + 1; ++j)
            cout << a[j] << " " ;

        cout << endl ;
    }
}

输出如下，因为处理了空格，所以更美观一点。

Happy Coding!!!

== THE END ==