DirectX视口变换矩阵详解

视口变换在投影变换之后，视口变换的作用是将投影*面上的点转换为屏幕上的点，这是一个缩放的过程。

投影变换的作用是将viewing frustum（视景体）中的场景投影到一个*面上，这个*面就是投影*面，在DirectX中，使用*剪裁*面作为投影*面（z=1),关于透视投影的矩阵求解，请参考透视投影详解

视口变换则是将这个cuboid中的物体变换到视口中，见下图。

其中cuboid的坐标范围是

 

而viewport的坐标范围是

注：由上图知，视口的起点为（X, Y），宽高分别为Width和Height，x轴向右为正，y轴向下为正，y轴的方向与三维坐标正好相反。视口是一个2D*面，但是在viewport变换中，Z坐标也是跟着变换的，只是在这个图中没有体现。

先求变换矩阵的第一列

Cuboid中的左上角点(-1, 1, 0, 1)映射到viewport中的起点(X, Y, MinZ, 1),

Cuboid中的右上角点(1, 1, 0, 1)映射到viewport中的点(X+Width, Y, MinZ, 1),

假设变换矩阵的第一列为[x’, y’, z’, 1]^T据矩阵乘法有

[-1, 1, 0, 1]* [x’, y’, z’, 1]^T = X

[1, 1, 0, 1]* [x’, y’, z’, 1]^T = X+Width

对应的两个方程为

-1*x’ + 1*y’ + 0*z’ + 1*w’ = X

1*x’ + 1*y’ + 0*z’ + 1*w’ = X+Width

解之得

x’ = Width/2

y’ = 0

z’ = 0

w’ = x + Width/2

再求第二列

列方程（这里省略了x’,z’，但结果不变，下同）

y’ + 1*w’=Y

-1*y’ + 1*w’=Y+Height

解之得

y’ = -Height/2

w’ = Y + Height/2

最后求第三列

列方程

0*z’ + 1*w’ = MinZ

1*z’ + 1*w’ = MaxZ

解之得

z’ = MaxZ – MinZ

w’ = MinZ

组合以上各列，得到视口变换矩阵