[LeetCode] 470. Implement Rand10() Using Rand7() 使用Rand7()来实现Rand10()

Given a function rand7 which generates a uniform random integer in the range 1 to 7, write a function rand10 which generates a uniform random integer in the range 1 to 10.

Do NOT use system's Math.random().

Example 1:

Input: 1
Output: [7]

Example 2:

Input: 2
Output: [8,4]

Example 3:

Input: 3
Output: [8,1,10]

Note:

rand7 is predefined.
Each testcase has one argument: n, the number of times that rand10 is called.

Follow up:

What is the expected value for the number of calls to rand7() function?
Could you minimize the number of calls to rand7()?

这道题给了我们一个随机生成 [1, 7] 内数字的函数 rand7()，需要利用其来生成一个能随机生成 [1, 10] 内数字的函数 rand10()，注意这里的随机生成的意思是等概率生成范围内的数字。这是一道很有意思的题目，由于 rand7() 只能生成1到7之间的数字，所以 8，9，10 这三个没法生成，那么怎么办？大多数人可能第一个想法就是，再用一个呗，然后把两次的结果加起来，范围不就扩大了么，扩大成了 [2, 14] 之间，然后如果再减去1，范围不就是 [1, 13] 了么。想法不错，但是有个问题，这个范围内的每个数字生成的概率不是都相等的，为啥这么说呢，我们来举个简单的例子看下，就比如说 rand2()，我们知道其可以生成两个数字1和2，且每个的概率都是 1/2。那么对于 (rand2() - 1) + rand2()呢，看一下：

rand2() - 1 + rand()2  =   ?
   1            1          1
   1            2          2
   2            1          2
   2            2          3

我们发现，生成数字范围 [1, 3] 之间的数字并不是等概率大，其中2出现的概率为 1/2，1和3分别为 1/4。这就不随机了。问题出在哪里了呢，如果直接相加，不同组合可能会产生相同的数字，比如 1+2 和 2+1 都是3。所以需要给第一个 rand2() 升一个维度，让其乘上一个数字，再相加。比如对于 (rand2() - 1) * 2 + rand2()，如下：

（rand2() - 1） * 2 + rand()2  =   ?
     1                  1         1
     1                  2         2
     2                  1         3
     2                  2         4

这时右边生成的 1，2，3，4 就是等概率出现的了。这样就通过使用 rand2()，来生成 rand4()了。那么反过来想一下，可以通过 rand4() 来生成 rand2()，其实更加简单，我们只需通过 rand4() % 2 + 1 即可，如下：

rand4() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1

同理，我们也可以通过 rand6() 来生成 rand2()，我们只需通过 rand6() % 2 + 1 即可，如下：

 rand6() % 2 + 1 =  ?
   1               2
   2               1
   3               2
   4               1
   5               2
   6               1

所以，回到这道题，我们可以先凑出 rand10*N()，然后再通过 rand10*N() % 10 + 1 来获得 rand10()。那么，只需要将 rand7() 转化为 rand10*N() 即可，根据前面的讲解，我们转化也必须要保持等概率，那么就可以变化为 (rand7() - 1) * 7 + rand7()，就转为了 rand49()。但是 49 不是 10 的倍数，不过 49 包括好几个 10 的倍数，比如 40，30，20，10 等。这里，我们需要把 rand49() 转为 rand40()，需要用到拒绝采样 Rejection Sampling，总感觉名字很奇怪，之前都没有听说过这个采样方法，刷题也是个不停学习新东西的过程呢。简单来说，这种采样方法就是随机到需要的数字就接受，不是需要的就拒绝，并重新采样，这样还能保持等概率，具体的证明这里就不讲解了，博主也不会，有兴趣的童鞋们可以去 Google 一下～这里直接用结论就好啦，当用 rand49() 生成一个 [1, 49] 范围内的随机数，如果其在 [1, 40] 范围内，我们就将其转为 rand10() 范围内的数字，直接对 10 去余并加1，返回即可。如果不是，则继续循环即可，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
        }
    }
};

我们可以不用 while 循环，而采用调用递归函数，从而两行就搞定，叼不叼～

解法二：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        int num = (rand7() - 1) * 7 + rand7();
        return (num <= 40) ? (num % 10 + 1) : rand10();
    }
};

我们还可以对上面的解法进行一下优化，因为说实话在 [1, 49] 的范围内随机到 [41, 49] 内的数字概率还是挺高的，我们可以做进一步的处理，就是当循环到这九个数字的时候，我们不重新采样，而是做进一步的处理，将采样到的数字减去 40，这样就相当于有了个 rand9()，那么通过 (rand9() - 1) * 7 + rand7()，可以变成 rand63()，对 rand63() 进行拒绝采样，得到 rand60()，从而又可以得到 rand10()了，此时还会多余出3个数字，[61, 63]，通过减去 60，得到 rand3()，再通过变换 (rand3() - 1) * 7 + rand7() 得到 rand21()，此时再次调用拒绝采样，得到 rand20()，进而得到 rand10()，此时就只多余出一个 21，重复整个循环的概率就变的很小了，参见代码如下：

解法三：

class Solution {
public:
    int rand10() {
        while (true) {
            int a = rand7(), b = rand7();
            int num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 40) return num % 10 + 1;
            a = num - 40, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 60) return num % 10 + 1;
            a = num - 60, b = rand7();
            num = (a - 1) * 7 + b;
            if (num <= 20) return num % 10 + 1;
        }
    }
};