[LeetCode] 60. Permutation Sequence 排列序列

The set [1, 2, 3, ..., n] contains a total of n! unique permutations.

By listing and labeling all of the permutations in order, we get the following sequence for n = 3:

"123"
"132"
"213"
"231"
"312"
"321"

Given n and k, return the kth permutation sequence.

Example 1:

Input: n = 3, k = 3
Output: "213"

Example 2:

Input: n = 4, k = 9
Output: "2314"

Example 3:

Input: n = 3, k = 1
Output: "123"

Constraints:

1 <= n <= 9
1 <= k <= n!

这道题是让求出n个数字的第k个排列组合，由于其特殊性，我们不用将所有的排列组合的情况都求出来，然后返回其第k个，这里可以只求出第k个排列组合即可，那么难点就在于如何知道数字的排列顺序，可参见网友喜刷刷的博客，首先要知道当 n = 3 时，其排列组合共有 3! = 6 种，当 n = 4 时，其排列组合共有 4! = 24 种，这里就以 n = 4, k = 17 的情况来分析，所有排列组合情况如下：

1234
1243
1324
1342
1423
1432
2134
2143
2314
2341
2413
2431
3124
3142
3214
3241
3412 <--- k = 17
3421
4123
4132
4213
4231
4312
4321

可以发现，每一位上 1,2,3,4 分别都出现了6次，当最高位上的数字确定了，第二高位每个数字都出现了2次，当第二高位也确定了，第三高位上的数字都只出现了1次，当第三高位确定了，那么第四高位上的数字也只能出现一次，下面来看 k = 17 这种情况的每位数字如何确定，由于 k = 17 是转化为数组下标为 16：

最高位可取 1,2,3,4 中的一个，每个数字出现 3！= 6 次（因为当最高位确定了，后面三位可以任意排列，所以是 3！，那么最高位的数字就会重复 3！次），所以 k = 16 的第一位数字的下标为 16 / 6 = 2，在 "1234" 中即3被取出。这里的k是要求的坐标为k的全排列序列，定义 k' 为当最高位确定后，要求的全排序列在新范围中的位置，同理，k'' 为当第二高为确定后，所要求的全排列序列在新范围中的位置，以此类推，下面来具体看看：

第二位此时从 1,2,4 中取一个，k = 16，则此时的 k' = 16 % (3!) = 4，注意思考这里为何要取余，如果对这 24 个数以6个一组来分，那么 k=16 这个位置就是在第三组（k/6 = 2）中的第五个（k%6 = 4）数字。如下所示，而剩下的每个数字出现 2！= 2 次，所以第二数字的下标为 4 / 2 = 2，在 "124" 中即4被取出。

3124
3142
3214
3241
3412 <--- k' = 4
3421

第三位此时从 1,2 中取一个，k' = 4，则此时的 k'' = 4 % (2!) = 0，如下所示，而剩下的每个数字出现 1！= 1 次，所以第三个数字的下标为 0 / 1 = 0，在 "12" 中即1被取出。

3412 <--- k'' = 0
3421

第四位是从2中取一个，k'' = 0，则此时的 k''' = 0 % (1!) = 0，如下所示，而剩下的每个数字出现 0！= 1 次，所以第四个数字的下标为 0 / 1= 0，在 "2" 中即2被取出。

3412 <--- k''' = 0

那么就可以找出规律了
a1 = k / (n - 1)!
k1 = k

a2 = k1 / (n - 2)!
k2 = k1 % (n - 2)!
...

an-1 = kn-2 / 1!
kn-1 = kn-2 % 1!

an = kn-1 / 0!
kn = kn-1 % 0!

代码如下：

class Solution {
public:
    string getPermutation(int n, int k) {
        string res;
        string num = "123456789";
        vector<int> f(n, 1);
        for (int i = 1; i < n; ++i) f[i] = f[i - 1] * i;
        --k;
        for (int i = n; i >= 1; --i) {
            int j = k / f[i - 1];
            k %= f[i - 1];
            res.push_back(num[j]);
            num.erase(j, 1);
        }
        return res;
    }
};