[LeetCode] 1359. Count All Valid Pickup and Delivery Options 有效的快递序列数目

Given n orders, each order consists of a pickup and a delivery service.

Count all valid pickup/delivery possible sequences such that delivery(i) is always after of pickup(i).

Since the answer may be too large, return it modulo 10^9 + 7.

Example 1:

Input: n = 1
Output: 1
Explanation: Unique order (P1, D1), Delivery 1 always is after of Pickup 1.

Example 2:

Input: n = 2
Output: 6
Explanation: All possible orders:
(P1,P2,D1,D2), (P1,P2,D2,D1), (P1,D1,P2,D2), (P2,P1,D1,D2), (P2,P1,D2,D1) and (P2,D2,P1,D1).
This is an invalid order (P1,D2,P2,D1) because Pickup 2 is after of Delivery 2.

Example 3:

Input: n = 3
Output: 90

Constraints:

1 <= n <= 500

这道题说是有n个订单，每个订单要安排提货 pickup，和送货 delivery 两个事件，并且要求 pickup 必须在 delivery 事件前面，问n个订单的所有 pickup 和 delivery 的合法排序有多少种。参见题目中的例子2不难理解题意，可以看出 Pi 一定在 Di 前面，实际上这道题是一道排列组合题，是要找规律的，若 n=1 时，则根据题目要求，只有一种排列，即 P1 D1，而当 n=2 时，P2 可以加入的位置有哪些呢，其实有3个位置可以加入，如下所示：

_ P1 _ D1 _

两个字符共有3个加入位置，即 n * 2 - 1，若此时找个位置放下了 P2，则现在场上有了三个字符，理论上应该有4个加入位置，即 n * 2。又因为 P2 必须要在 D2 的前面，所以应该减少一半的情况，则总共有 3 * 4 / 2 = 6 种情况，即 (n * 2 - 1) * n * 2 / 2，化简一下得到 (n * 2 - 1) * n，这个就是递推公式，有了这个递归公式，就可以求出任意的n值了，注意别忘了结果要对 10^9 + 7 取余，参见代码如下：

解法一：

class Solution {
public:
    int countOrders(int n) {
        long res = 1, M = 1e9 + 7;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            res = res * (i * 2 - 1) * i % M;
        }
        return res;
    }
};

再来看一种递归的写法，一行搞定碉堡了，注意这里面的类型转换，相乘之前要转为长整型 long 来避免溢出，参见代码如下：

解法二：

class Solution {
public:
    int countOrders(int n) {
        return n > 0 ? ((long)countOrders(n - 1) * (n * 2 - 1) * n % ((long)1e9 + 7)) : 1;
    }
};