[LeetCode] 1262. Greatest Sum Divisible by Three 可被三整除的最大和
Given an array nums of integers, we need to find the maximum possible sum of elements of the array such that it is divisible by three.
Example 1:
Input: nums = [3,6,5,1,8]
Output: 18
Explanation: Pick numbers 3, 6, 1 and 8 their sum is 18 (maximum sum divisible by 3).
Example 2:
Input: nums = [4]
Output: 0
Explanation: Since 4 is not divisible by 3, do not pick any number.
Example 3:
Input: nums = [1,2,3,4,4]
Output: 12
Explanation: Pick numbers 1, 3, 4 and 4 their sum is 12 (maximum sum divisible by 3).
Constraints:
1 <= nums.length <= 4 * 10^41 <= nums[i] <= 10^4
这道题给了一个数组 nums，让找出最大的元素之和，使得其可以整除3，注意这里不是子数组之和，并不需要连续，而是相当于某个子集之和。所以博主最先想到的方法是用类似 Subsets 中的方法生成所有的子集，并在生成的过程中计算每个子集的数字之和，然后判断若能整除3，则更新结果 res，但是这种方法却超时了。博主心想就一道 Medium 的题难道还需要用什么高端的方法，原来真的是有很高效的解法呢！首先来分析这道题，数字之和需要除以3，那么余数只有三种情况，余数为0即为整除，也是本题需要求解的情况，或者是余数为1或者为2。最好的情况就是整个数组之和除以3正好余数为0，这也是最大的数字之和，但是当整个数组之和除以3余1怎么办？如果能在数组中找到一个除以3余1的数字，那么整个数组之和减去这个数字后一定能被3整除，这应该是小学学过的某种定理吧，即若a除以c的余数和b除以c的余数相同，则 a-b 一定可以整除c。
回到本题，为了使剩余的数字之和最大，减去的那个除以3余1的数字应该越小越小，同理，若整个数组之和除以3余2，则减去一个最小的除3余2的数字。于是这道题就变成了分别寻找最小的除3余2，除3余1的数（也可以是若个数之和），用 leftOne 和 leftTwo 来表示，既然要找最小值，则初始化应该是最大数，但这里这不能直接初始化为整型最大值，因为后面还会做加法运算可能导致整型溢出。由于题目限定了数字的大小不超过 10^4，就用这个当初始值就可以了。然后遍历整个数组，先将遍历到的数字 num 加到结果 res 中，然后就要更新 leftOne 和 leftTwo 了，判断若 num 除以3余1的话，则可以用 leftOne+num 来更新 leftTwo，因为两个除3余1的数相加就会除3余2，然后再用 num 来更新 leftOne。同理，若 num 除以3余2的话，则可以用 leftTwo+num 来更新 leftOne，因为两个除3余2的数相加就会除3余1，然后再用 num 来更新 leftTwo。这样最后只要看数组之和 res 是否能整除3，能的话直接返回 res，若余1的话，返回 res-leftOne，否则返回 res-leftTwo 即可，参见代码如下：
解法一：
class Solution {
public:
int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
int res = 0, leftOne = 1e4, leftTwo = 1e4;
for (int num : nums) {
res += num;
if (num % 3 == 1) {
leftTwo = min(leftTwo, leftOne + num);
leftOne = min(leftOne, num);
} else if (num % 3 == 2) {
leftOne = min(leftOne, leftTwo + num);
leftTwo = min(leftTwo, num);
}
}
if (res % 3 == 0) return res;
if (res % 3 == 1) return res - leftOne;
return res - leftTwo;
}
};
上面的解法是比较巧妙，但估计比较难想，这道题给的 hint 是要用动态规划 Dynamic Programming 来做，这里我们定义的 dp 数组和题目中提示不太一样，这里定义一个 n+1 by 3 的二维数组，其中 dp[i][j] 表示前i个数字中的最大的数字之和且其除以3余 3-j，为什么要这么定义呢？这跟后面的状态转移方程有关，由于j只有三个状态 0，1，和2，所以可以分别来更新。
对于 dp[i][0] 来说，至少可以用 dp[i-1][0] 来更新，即不选择当前这个数字 num。若选择当前的数字 num，其不一定会被3整除，但是 dp[i-1][num%3] + num 一定会被3整除，这是为啥呢？首先，若 num 能被3整除，则这个表达肯定也能被3整除，没有问题。若 num 除3余1，这样的话就是 dp[i-1][1] + num 了，根据上面说的 dp 的定义，dp[i-1][1] 表示前 i-1 个数字中的最大数字之和且其除3余2，而 num 正好是一个除3余1的数，加上之后就可以被3整除了，所以可以用来更新 dp[i][0]。同理，若 num 除3余2，就是用 dp[i-1][2] + num 跟 dp[i-1][0] 相比，取较大值更新 dp[i][0]。
对于 dp[i][1] 来说，至少可以用 dp[i-1][1] 来更新，即不选择当前这个数字 num。若选择当前的数字 num，其不一定会是除3余2的，但是 dp[i-1][(num+1)%3] + num 一定会是除3余2的，这是为啥呢？首先，若 num 能被3整除，则 num+1 是除3余1的，代入得到 dp[i-1][1] 是除3余2的，加上 num 还是除3余2的。对于 num 除3余1的情况，代入可以得到 dp[i-1][2] + num，根据上面说的 dp 的定义，dp[i-1][2] 表示前 i-1 个数字中的最大数字之和且除以3余1，而 num 正好也是一个除3余1的数，加上之后整个就是除3余2的了，所以可以用来更新 dp[i][1]。同理，若 num 除3余2，就是用 dp[i-1][1] + num 跟 dp[i-1][2] 相比，取较大值更新 dp[i][2]。
对于 dp[i][2] 的更新这里就不讲了，跟上面的情况大同小异，最终的结果保存在 dp[n][0] 中，若觉得上面的讲解很绕，不容易理解的话，这里建议使用题目中的例子1来一步一步推，观察 dp 数组的每个数字的更新，这样就可以理解了，参见代码如下：
解法二：
class Solution {
public:
int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
int n = nums.size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int>(3));
dp[0] = {0, INT_MIN, INT_MIN};
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int idx = i - 1;
dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][nums[idx] % 3] + nums[idx]);
dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][(nums[idx] + 1) % 3] + nums[idx]);
dp[i][2] = max(dp[i - 1][2], dp[i - 1][(nums[idx] + 2) % 3] + nums[idx]);
}
return dp[n][0];
}
};
再来看一种一维 dp 数组的解法，这个可不是上面的 dp 解法的省空间版本啊，二者的余数定义不同。这里的 dp[i] 表示整个数组的最大和且除3余i。下面来分析状态转移方程，遍历数组的每一个数组 num，由于 dp 是一维数组，没有多余的维度去保存上一轮的状态值，所以之前的状态值也都保存在 dp 中，为了不混淆上一轮和当前轮的 dp 值，在更新 dp 之前，把当前已有的 dp 值保存到一个临时数组 t 中，遍历t数组，当前遍历到的数字i除以3余几并不重要，其加上新数字 num 之后再对3取余，就是要更新的 dp 位置，用 i+num 去更新即可，参见代码如下：
解法三：
class Solution {
public:
int maxSumDivThree(vector<int>& nums) {
vector<int> dp(3);
for (int num : nums) {
vector<int> t = dp;
for (int i : t) {
dp[(i + num) % 3] = max(dp[(i + num) % 3], i + num);
}
}
return dp[0];
}
};
Github 同步地址:
https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1262
参考资料：
https://leetcode.com/problems/greatest-sum-divisible-by-three/
