[LeetCode] 1240. Tiling a Rectangle with the Fewest Squares 铺瓷砖

Given a rectangle of size n x m, return the minimum number of integer-sided squares that tile the rectangle.

Example 1:

Input: n = 2, m = 3
Output: 3
Explanation: `3` squares are necessary to cover the rectangle.
`2` (squares of `1x1`)
`1` (square of `2x2`)

Example 2:

Input: n = 5, m = 8
Output: 5

Example 3:

Input: n = 11, m = 13
Output: 6

Constraints:

• 1 <= n, m <= 13

这道题给了一个 n by m 大小的矩形，问最少可以用多少个正方形填满这个矩形。有点像小时候玩的拼图游戏，用大小不同正方形来拼出一个大的矩形。为了方便分析，这里始终认为n小于等于m，若给定的n大于m，直接调换一下也不影响最终结果。现在来考虑一下如何才能拼出 n by m 大小的矩形，可能大家会下意识的先拿出一个 n by n 的矩形占一大块，然后再拿小矩形去拼 n by (m-n) 的矩形，这种类似贪婪算法的拼法并不能保证全局最优，这种方法在例子1和2中是可以的，但是例子3中就不适用了。由于没有明确的策略去拼，为了得到全局最优解，只有遍历所有情况，取其中的最小值。则第一个正方形可选的范围就是 [1, n]，对于其中任意一个值i来说，相当于左下角先放了个 i by i 的正方形，剩下的部分可以分为两个矩形，有两种不同的分法：水平切一刀的话，就分成了 (n-i) by m 的矩形和 i by (m-i) 的矩形；竖直切一刀的话，就分成了 (n-i) by i 的矩形和 n by (m-i) 的矩形，这两种分法都要分别计算一下，参见简陋的下图所示：

         m
   --------------
   |n-i         |
 n |------------|
   | i |   m-i  |
   --------------

         m
   --------------
   |n-i|        |
 n |----        |
   | i |   m-i  |
   --------------

由于分割成的子矩形可以看作是一个子问题的重现，所以这道题用递归来做是非常合适的，同时为了避免大量的重复计算，应该使用记忆数组来保存计算过的值，其中 memo[i][j] 就表示 i by j 的矩形可以用最少的正方形拼出的个数。上面这种分割方法并不能包含所有的情况，比如例子3就无法通过这种方法得到。所以还有一种拼法，是同时在左下角和右上角各放一个正方形，然后再去拼剩余的部分，左下角的正方形边长为i，范围是 [1, n]，右上角的正方形边长为j，范围是 [n-i+1, min(m-i, n)]。这里可能会有童鞋有疑问，为啥右上角的正方形边长要从 n-i+1 开始，而不是从1开始呢？这是个好问题，因为这里需要 i+j 大于n，只有这样才能区别于上面两种拼法，否则的话，这种分割方法其实还是包括在前两种分割方法里面的。

当这两个边角正方形大小确定了之后，剩余的部分可能需要分成三个矩形，就像例子3中所示一样，中间还有个迷你矩形，其长宽需要特别计算一下，是个 (i+j-n) by (m-i-j) 的矩形，然后剩下的两个矩形大小分别为 (n-i) by (m-j) 和 (n-j) by (m-i)。这些都理清了之后，代码应该也就不难写了。主要来看递归函数的写法吧，首先判断n和m的大小，若n大于m，则交换两个参数。若n等于0，直接返回0，若n等于m，本身就是个正方形，返回1，若n等于1，则只能用 1 by 1 的正方形来拼，返回m，若 memo[n][m] 值大于0，说明当前情况已经计算过了，直接返回 memo[n][m]。否则开始正式计算，初始化结果 res 为整型最大值，然后遍历左下角先拼的正方的边长，之前说了，范围是 [1, n]，然后先计算分成两个矩形的两种情况，分别调用递归，并更新结果 res。然后就是计算右上角再放正方形的情况，其边长范围是 [n-i+1, min(m-i, n)]，之前也分析过了，然后对分割出的三个小矩形分别调用递归，并用结果来更新 res 即可，参见代码如下：

class Solution {
public:
    int tilingRectangle(int n, int m) {
        if (n > m) return tilingRectangle(m, n);
        vector<vector<int>> memo(n + 1, vector<int>(m + 1));
        return helper(n, m, memo);
    }
    int helper(int n, int m, vector<vector<int>>& memo) {
        if (n > m) return helper(m, n, memo);
        if (n == 0) return 0;
        if (n == m) return 1;
        if (n == 1) return m;
        if (memo[n][m] > 0) return memo[n][m];
        int res = INT_MAX;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            res = min(res, 1 + helper(n - i, m, memo) + helper(i, m - i, memo));
            res = min(res, 1 + helper(n, m - i, memo) + helper(n - i, i, memo));
            for (int j = n - i + 1; j < m - i && j < n; ++j) {
                res = min(res, 2 + helper(n - i, m - j, memo) + helper(i + j - n, m - i - j, memo) + helper(n - j, m - i, memo));
            }
        }
        return memo[n][m] = res;
    }
};

Github 同步地址:

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/1240

参考资料：

https://leetcode.com/problems/tiling-a-rectangle-with-the-fewest-squares/

https://leetcode.com/problems/tiling-a-rectangle-with-the-fewest-squares/discuss/967635/Java-100-Recursion-with-Memoization.

https://leetcode.com/problems/tiling-a-rectangle-with-the-fewest-squares/discuss/791203/C%2B%2BDynamic-Programming-Backtracking-with-Figure.Explained.(100-faster)

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