汉明距离和纠错

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汉明距离和纠错

Hamming Distance, CRC

• 在一个码组集合中，任意两个码字之间对应位上码元取值不同的位的数目定义为这两个码字之间的汉明距离。
• 在一个码组集合中，任意两个编码之间汉明距离的最小值称为这个码组的最小汉明距离。最小汉明距离越大，码组越具有抗干扰能力。
• 纠错和检错：
  • 1． 当码组用于检测错误时，设可检测e个位的错误，则
    • d>=e+1
    • 设有两个距离为d的码字A和B，如果A出现了e个错误，则A变成了以A为圆心，e位半径的球体表面的码字。为了能够准确地分辨出这些码字既不是A也不是B，那么A误码后变成的球面上的点与B至少应该有一位距离（如果B在球面上或在球面内部则无法分辨出到底B是不是A的错误码），即A与B之间的最小距离d>=e+1。
  • 2． 若码组用于纠错，设可纠错t个位的错误，则
    • d>=2t+1
    • 设有码字A和B，如果A出现了t个错误，B也出现了t个错误，则A码变成以A为圆心，t为半径的球面上的码字；B码变成以B为圆心，t为半径的球面上的码字。为了在出现t个错之后仍能分辨一个码字到底是属于A的错码还是属于B的错码，A,B为球心的两个球面应该不相交，即球心A，B之间距离应该大于2t，所以d>=2t+1。
  • 3.如果码组用于纠正t个错，检测e个错，则
    • d>=e+t+1
    • 这里e>t，这种检错纠错方式结合的情况同上述两个情况类似。当码字出现t个或者小于t个错时，系统按照纠错方式工作。当码字出现超过t个错而小于等于e个错时，系统按照检错方式工作；当A出现e个错，B出现t个错时，既要纠正B的错，又要发现A的错，则以A为球心，e为半径的球和以B为球心，t为半径的球应该不相交，所以A,B之间的距离应该大于等于e+t+1，即d>=e+t+1。