树状数组
树状数组
一、原理分析及操作模板
1、用处：
-
快速求前缀和
O(log n) -
修改某一个数
O(log n)与前缀和、差分的对比：
-
前缀和：在
O(1)下求前缀和，在O(n)下修改某个数 -
差 分：在
O(n)下求前缀和，在O(1)下修改某个数综合考虑复杂度在
O(n)
2、原理分析：
基于二进制： $ x = 2^{i_k} + 2^{i_{k-1}} + ... + 2^{i_1}$ 其中 $ i_k \geq i_{k-1} \geq i_{k-2} \geq ... \geq i_1, k \leq \log_2 x $
将其划分为k个区间：
- \((x-2^{i_1}, x]\) 区间长度：\(2^{i_1}\)个数， \(2^{i_1}\)是x二进制表示的最后一位1。
- \((x-2^{i_1}-2^{i_2}, x-2^{i_1}]\) 区间长度：\(2^{i_2}\)个数, \(2^{i_2}\)是\(x-2^{i_1}\)二进制表示的最后一位1。
- ......
... \((0,x-2^{i_1}-2^{i_2}-...-2^{i_{k-1}}]\) 区间长度：\(2^{i_k}\)个数, \(2^{i_k}\)是\(x-2^{i_1}-2^{i_2}-...-2^{i_{k-1}}\)二进制表示的最后一位1。
=> (L, R] 长度一定是R二进制表示的最后一位1所对应的次幂
=>[R - lowbit(R) + 1, R]
=>设tr[N]是树状数组，则 tr[x] = sum [x - lowbit(x) + 1, x]
=>如此，就可以在O(log n)下求出1~x的和
原理图：
1）通过父节点找子节点（理解过程，实际不会用到）
\[x = ......1\underbrace{00...00}_{k个}\\
tr[x] = 以x结尾的，长度是2^k的区间和\\
\ = x + [x - 2^k + 1, x - 1]\\
\ \\
x-1 = ......0\underbrace{11...11}_{k个}\ \rightarrow \ 每一个1对应了1个子节点\\
\left\{
\begin{aligned}
(...01...10, ...01...11]\\
(...01..100, ...01...10]\\
......\\
(...00...00, ...010...0]
\end{aligned}
\right.\\
推得：tr[x] = x + tr[x-1] + tr[x -1 - lowbit(x-1)] + ... + tr[i]\quad i>0
\]
2)通过子节点找父节点（对应修改操作）
当前值节点：$ x = ...0\underbrace{1...10...0}_{k位}$
直接父节点：\(p=...1\underbrace{0......0}_{k位}\) \(\Rightarrow\) p = x + lowbit(x) //最多持续logx次
3、代码模板
//lowbit操作
int lowbit(int x)
{
return x & -x;
}
//添加（修改）操作
void add(int x, int c)
{
for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) tr[i] += c;
}
//查询操作，求x的前缀和
int sum(int x)
{
int res = 0;
for(int i = x; i; i -= lowbit(i)) ans += tr[i];
return ans;
}
4、扩展
tr[]维护前缀和：单点加，区间求和tr[]维护差分：区间加，单点求和
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用树状数组维护差分数组，实现区间加，单点求和
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