编译原理（清华大学版）第三章

第三章 词法分析

正规式、正规文法

设$G=(V_N,V_T,P,S)$，如果P中每一个产生式的形式都是$A\to aB$或$A\to a$，其中$A,B$都是非终结符，$a\in V_T^{\ast }$，则是3型或正规文法。

• 正规文法所描述的是$V_T$上的正规集，即通过$V_N,V_T,P,S$来表示。
• 正规式也称正则表达式。通过符号的有序连接来表示。

正规式递归定义：

设字母表为$\sum$，辅助字母表${\sum }^{\prime }=\{\varnothing ,ϵ,|,.,\ast ,(,)\}$。

1. $ϵ$和$\varnothing$都是$\sum$上的正规式，它们表示的正规集分别为$\{ϵ\}$和$\varnothing$。
2. 任何$a\in \sum ,a$都是$\sum$上的一个正规式，表示的正规集为$\{a\}$。
3. 假定$e_1$和$e_2$都是$\sum$上的正规式，他们表示的正规集分别为$L(e_1),L(e_2)$，那么$(e_1)、(e_1|e_2)、e_1\ast e_2、e_1^{\ast }$也都是正规式，表示的正规集为$L(e_1)、L(e_1)\cup L(e_2)、L(e_1)L(e_2)、(L(e_1){)}^{\ast }$。
4. 仅由有限次使用上述三个步骤而定义的表达式才是$\sum$上的正规式，仅由这些正规式所表示的符号串的集合才是$\sum$上的正规集。

正规式符合的代数规律

1. $$r|s=s|r\mathrm{或}\mathrm{的}\mathrm{交}\mathrm{换}\mathrm{律}$$

2. $$r|(s|t)=(r|s)|t\mathrm{或}\mathrm{的}\mathrm{可}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{律}$$

3. $$(rs)t=r(st)\mathrm{连}\mathrm{接}\mathrm{的}\mathrm{可}\mathrm{结}\mathrm{合}\mathrm{律}$$

4. $$r(s|t)=rs|rt,(s|t)r=sr|tr\mathrm{分}\mathrm{配}\mathrm{律}$$

5. $$ϵr=r,rϵ=rϵ\mathrm{为}\mathrm{恒}\mathrm{等}\mathrm{元}\mathrm{素}$$

6. $$r|r=r\mathrm{或}\mathrm{的}\mathrm{抽}\mathrm{取}\mathrm{律}$$

正规式和正规文法的等价性

1. 将正规式转换为正规文法

   重点是两个基本正规式产生式：

   • $$\begin{gathered} \mathrm{形}\mathrm{如}A\to x^{\ast }y\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{规}\mathrm{式}\mathrm{产}\mathrm{生}\mathrm{式}\mathrm{重}\mathrm{写}\mathrm{为} \\ A\to xB \\ A\to y \\ B\to xB \\ B\to y \end{gathered}$$

   • $$\begin{gathered} \mathrm{形}\mathrm{如}A\to x|y\mathrm{正}\mathrm{规}\mathrm{式}\mathrm{产}\mathrm{生}\mathrm{式}，\mathrm{重}\mathrm{写}\mathrm{为} \\ A\to x \\ A\to y \end{gathered}$$

2. 将正规文法转换为正规式

规则	文法产生式	正规式
规则 1	$A\to xBB\to y$	$A=xy$
规则 2	$A\to xA|y$	$A\to x^{\ast }y$
规则 3	$A\to xA\to y$	$A\to x|y$

有穷自动机

作用：识别正规集，识别正规文法定义的语言和正规式表示的集合。

分类：

• 确定的有穷自动机DFA
• 不确定的有穷自动机NFA

确定的有穷自动机

定义：是一个五元组

$$M=(K,\sum ,f,S,Z)$$

1. $K$是一个有穷集，每一个元素称为一个状态。
2. $\sum$是一个有穷字母表，每个元素称为一个输入符号，也称为输入符号表。
3. $f$是转换函数，是$K\times \sum \to K$上的映像。
4. $S\in K$，是唯一的一个初态。
5. $Z\subseteq K$，是一个终态集，也称之为接收状态或结束状态。

可接受的定义

• 对于$\sum ^{\ast }$中的任意符号串$t$，若存在一条从初态节点到某一终态节点的道路，且这条路上所有的弧的标记符连接成的符号串等于$t$，则称$t$可为$DFAM$所接受，若$M$的初态节点同时又是终态节点，则空字可为$M$所识别（接受）。

• 若$t\in \sum ^{\ast },f(S,t)=P$，其中$S$为$DFAM$的开始状态，$P\in Z$，$Z$是终态集。则称$t$可为$DFAM$所接受。

拓展：

​ 设$Q\in K$，函数$f(Q,ϵ)=Q$​。（如果输入符号是空串，则停留在原来的状态上）

​ 一个输入符号串$t$（将它改写为$t_1{t}_x$的形式，其中$t_1\in \sum$，$t_x\in \sum ^{\ast }$），在$DFAM$上运行的定义为：

​

$$f(Q,t_1{t}_x)=f(f(Q,t_1),t_x)$$

考点：证明某某字符串是可接受的。

不确定的有穷自动机

定义：是一个五元组

$$M=(K,\sum ,f,S,Z)$$

1. $K$是一个有穷集，每一个元素称为一个状态。
2. $\sum$是一个有穷字母表，每个元素称为一个输入符号，也称为输入符号表。
3. $f$是转换函数，是$K\times \sum ^{\ast }$ 到 $K$的全体子集的映像，即$K\times \sum ^{\ast }\to 2^K$，其中$2^K$表示$K$的幂集。
4. $S\in K$，是非空初态集。
5. $Z\subseteq K$，是一个终态集，也称之为接收状态或结束状态。

NFA转换为等价的DFA

确定有穷自动机的化简

正规式和有穷自动机的等价性

正规式和有穷自动机的等价性