编译原理（清华大学版）第二章

第二章 文法和语言

符号和符号串

• 字母表是元素的非空有穷集合
• 字母表中的元素称为符号
• 字母表中的符号可以组成的任何有穷序列称为符号串

符号串运算：

1.符号串的头尾，固有头和固有尾

​ $z=xy,\mathrm{只}\mathrm{对}\mathrm{头}\mathrm{感}\mathrm{兴}\mathrm{趣}\mathrm{则}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{写}\mathrm{为}z=x...$

2.符号串的连接

​ $\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{串}x、y，\mathrm{连}\mathrm{接}\mathrm{之}\mathrm{后}\mathrm{为}xy;ϵx=xϵ=x$

3.符号串的方幂

​ $\mathrm{设}x\mathrm{为}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{串}，z=x^n,\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{串}\mathrm{的}\mathrm{方}\mathrm{幂}，\mathrm{即}\mathrm{将}x\mathrm{自}\mathrm{身}\mathrm{连}\mathrm{接}n\mathrm{次}$

4.符号串的集合

​ $\mathrm{集}\mathrm{合}A\mathrm{中}\mathrm{的}\mathrm{一}\mathrm{切}\mathrm{元}\mathrm{素}\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{某}\mathrm{字}\mathrm{母}\mathrm{表}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{串}，\mathrm{则}\mathrm{称}A\mathrm{为}\mathrm{该}\mathrm{字}\mathrm{母}\mathrm{表}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{串}\mathrm{集}\mathrm{合}$

​ $\mathrm{俩}\mathrm{符}\mathrm{号}\mathrm{串}\mathrm{集}\mathrm{合}A，B\mathrm{的}\mathrm{乘}\mathrm{积}，AB=\{x,y|x\in A\mathrm{且}y\in B\}$

​ $\sum ^{\ast }\mathrm{表}\mathrm{示}\mathrm{字}\mathrm{母}\mathrm{表}\sum \mathrm{上}\mathrm{所}\mathrm{有}\mathrm{有}\mathrm{穷}\mathrm{长}\mathrm{的}\mathrm{串}\mathrm{的}\mathrm{集}\mathrm{合}$ $\sum ^{\ast }=\sum ^0\cup \sum ^1\dots \dots \cup \sum ^n$

​ $\sum ^{\ast }\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{集}\mathrm{合}\sum \mathrm{的}\mathrm{闭}\mathrm{包}，\sum ^{+}=\sum ^1\cup \sum ^2\dots \dots \cup \sum ^n\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{正}\mathrm{闭}\mathrm{包}$​

---

各种定义

文法$G$定义为四元组$(V_N,V_T,P,S)$

$V_N$(Non-terminators）非终结符集 $V_T$(Terminator) 终结符集

$P$(Principle)为规则$(\alpha \to \beta )$的集合

$\alpha \in (V_N\cup V_T{)}^{\ast }$且至少包含一个非终结符，例如$Aa,A,ABa$，$\beta \in (V_N\cup V_T{)}^{\ast }，V_T,V_N$和$P$是非空有穷集合

$S$​坐标标识符或者开始符号，是一个非终结符号

推导的概念

• 设$\alpha \to \beta$是文法$G$五元组的规则，$\gamma$和 $\delta$是$V^{\ast }$中的任意符号，若有符号串$v,w$满足

$$v=\gamma \alpha \delta ,w=\gamma \beta \delta$$

​ 则说$v$直接产生$w$，或者说$w$是$v$的直接推导，或者说$w$直接归约到$v$，记作$v\Rightarrow w$。

• 如果直接推导序列：

$$v=w_0\Rightarrow w_1\Rightarrow w_2\Rightarrow ...\Rightarrow w_n=w(n>0)$$

​ 则称$v$推导出$w$，推导长度为$n$，记作$v\stackrel{+}{\Rightarrow }w$​

句子、句型、语言定义

设$G[S]$是一个文法，如果符号串$x$是从识别符号推导出来的，即$S\stackrel{\ast }{\Rightarrow }x$，则称$x$是文法$G[S]$​的句型。

若$x$仅有终结符号组成，即$S\stackrel{\ast }{\Rightarrow }x,x\in V_T^{\ast }$，称$x$是文法$G[S]$​的句子。

语言：定义为集合$\{x|S\stackrel{\ast }{\Rightarrow }x,\mathrm{其}\mathrm{中}S\mathrm{为}\mathrm{文}\mathrm{法}\mathrm{识}\mathrm{别}\mathrm{符}\mathrm{号}，\mathrm{且}x\in V_T^{\ast }\}$，也就是句子的全部集合。​使用L(G)组成

文法等价

若$L(G_1)=L(G_2),\mathrm{则}\mathrm{成}\mathrm{文}\mathrm{法}{G}_1\mathrm{和}\mathrm{文}\mathrm{法}{G}_2\mathrm{是}\mathrm{等}\mathrm{价}\mathrm{的}$

---

文法的类型

0型、1型、2型、3型。

0型文法概念

设$G=(V_N,V_T,P,S)$，如果它的每一个产生式$\alpha \to \beta$是这样一种结构：$\alpha \in (V_N\cup V_T{)}^{\ast }$且至少包含一个非终结符，$\beta \in (V_N\cup V_T{)}^{\ast }$

0型文法相当于图灵机，任何0型语言都是递归可枚举的，泛指递归可枚举的必定是一个0型语言

1型文法概念

设$G=(V_N,V_T,P,S)$，如果它的每一个产生式$\alpha \to \beta$均满足$|\beta |\ge |\alpha |$，仅仅$S\to ϵ$除外，则文法是1型或者上下文有关的

2型文法概念

设$G=(V_N,V_T,P,S)$，如果它的每一个产生式$\alpha \to \beta$均满足:$\alpha$是一个非终结符，$\beta \in (V_N\cup V_T{)}^{\ast }$，则文法是2型或者上下文无关的

3型文法概念

设$G=(V_N,V_T,P,S)$，如果P中每一个产生式的形式都是$A\to aB$或$A\to a$，其中$A,B$都是非终结符，$a\in V_T^{\ast }$​，则是3型或正规文法

---

上下文无关文法和语法树

上下文无关文法最直观的表达方式是语法树

如果推导的任何一步$\alpha \Rightarrow \beta$，其中$\alpha 、\beta$是句型，都是对$\alpha$中的最左（最右）非终结符进行替换，则称这种推到为最左（最右）推导。

最右推导一般称之为规范推导。

文法的二义性和语言的二义性是两个不同的概念。

如果一个文法存在的某个句子，有两个不同的最左（最右推导），则说这文法是二义的。或者某个句子对应两棵不同的语法树。

---

句型的分析

• 令G是一个文法，S是文法的开始符号，$\alpha \beta \delta$是文法G的一个句型。如果有$S\stackrel{\ast }{\Rightarrow }\alpha A\delta$且$A\stackrel{+}{\Rightarrow }\beta$，则称$\beta$是句型$\alpha \beta \delta$相对于非终结符A的短语
• 如果$A\Rightarrow \beta$，则称$\beta$是句型$\alpha \beta \delta$相对于规则$A\to \beta$的直接短语，也叫简单短语。
• 一个右句型的直接短语称为该句型的句柄。
  • 如果文法无二义，右句型有唯一的最右推导，句柄唯一，是所有直接短语中最左边的那一个
  • 如果文法是二义的，则有多个句柄。