23最大乘积子串
题目描述：给一个浮点数序列，取最大乘积连续子串的值，例如 -2.5，4，0，3，0.5，8，-1，则取出的最大乘积连续子串为3，0.5，8。也就是说，上述数组中，3 0.5 8这3个数的乘积3*0.5*8=12是最大的，而且是连续的。
提醒：子串子序列不同，子串要求连续，子序列不要求连续。
分析：这个问题与“最大子数组”问题极为相似，最大子数组是求和的最大子串，该题是求积的最大子串。最大子数组中，最巧妙的算法是DP算法，思想以及源代码如下：
先看数组a[0…i],已知它的最大子数组，记为res(i)，同时，也可求得包含元素a[i]的最大子数组。记为sum(i)。
对于数组a[0…i+1]，它的最大子数组，要么包含元素a[i+1]，要么不包含元素a[i+1]：
包含元素a[i+1]的情况是：res(i+1) = sum(i+1)
不包含元素a[i+1]的情况是res(i+1) = res(i)
int DPmaxSum(int *a, int length)
{
int res = NEINFINITE;
intsum = 0;
inti;
for(i= 0; i < length; i++)
{
if(sum>= 0)
{
sum= sum + a[i];
}
else
{
sum= a[i];
}
res= (sum > res)?sum:res;
}
returnres；
}
注意到下面的代码，实际上是需要根据(sum+a[i] >= a[i])?的不同情况做出不同的选择：
if(sum >= 0)
{
sum = sum + a[i];
}
else
{
sum = a[i];
}
sum+a[i] ? a[i]，在求和的时候，只需要区分sum是否大于或者小于0即可，这是因为对于加法来说，如果a>b,那么对于任意的数a+c > b+c，而不管c是整数还是负数。
但是对于乘法来说，如果a>b，那么ac和bc的大小并不一定能够确定,因为涉及到负数的问题。
根据最大子数组的思想，假设包含a[i]的最大乘积为maxi,最小乘积为mini, 所以，mini < maxi,但是maxi* a[i], mini * a[i]与a[i]三个数之间的大小关系也是不确定的。所以，每次求maxi的同时，也需要求mini的大小，代码如下;
double func(double *a,const int n)
{
double *maxA = new double[n];
double *minA = new double[n];
maxA[0] = minA[0] =a[0];
double value = maxA[0];
for(int i = 1 ; i < n ; ++i)
{
maxA[i] =max(max(a[i],maxA[i-1]*a[i]),minA[i-1]*a[i]);
minA[i] =min(min(a[i],maxA[i-1]*a[i]),minA[i-1]*a[i]);
value=max(value,maxA[i]);
}
return value;
}
相关问题：给定一个长度为N的整数数组，只允许用乘法，不能用除法，计算任意（N-1）个数的组合中乘积最大的一组，并写出算法的时间复杂度。
分析：我们可以把所有可能的（N-1）个数的组合找出来，分别计算它们的乘积，并比较大小。由于总共有N个（N-1）个数的组合，总的时间复杂度为O（ ），显然这不是最好的解法。下面的解答来自编程之美
解法1
假设a[1..n]为初始数组，
s[i]表示从a[1]到a[i]的乘积，记s[0] = 1。所以s[i] = s[i-1] * a[i]。
t[i]表示从a[i]到a[n]的乘积，记t[n+1] = 1，所以，t[i] = t[i+1]*a[i]。
p[i]表示除a[i]之外，其他n-1个元素的乘积，所以，p[i] = s[i-1]*t[i+1].
所以，只要从头至尾扫描一遍，就可求得s[1..n]，然后从尾至头，就可求得t[1..n]。进而，线性时间内得到p[1..n]，所以，总的时间复杂度为o(n)。
解法2
可以通过分析，进一步减少解答问题的计算量。假设N个整数的乘积为P，针对P的正负性进行如下分析：
1：P=0
说明数组中至少包含有一个0。假设除去一个0之外，其他N-1个数的乘积为Q，根据Q的正负性进行讨论：
Q为0：说明数组中至少有两个0，那么N-1个数的乘积只能为0，返回0；
Q为正数：则n-1个数的最大乘积为Q，返回Q
Q为负数：返回0。
2：P为负数
因为 正*负=负，所以，可以从N个整数中去掉一个负数，这样其他n-1个数的乘积肯定为一个正数。而要使这个正数最大，这个被去掉的负数必须是数组中最大的（绝对值最小）。因而只需要扫描一遍数组，把绝对值最小的负数给去掉就可以了。
3：P为正数
因为 负*负=正 正*正=正。所以，如果数组中存在正数值，那么应该去掉最小的正数值，如果数组中不存在正数，则应该去掉最小的负数值（绝对值最大）。
上面的解法采用了直接求N个整数的乘积P，进而判断P的正负性的办法，但是直接求乘积在编译环境下往往会有溢出的危险（这也就是本题要求不使用除法的潜在用意），事实上可做一个小的转变，不需要直接求乘积，而是求出数组中正数（+）、负数（-）和0的个数，从而判断P的正负性，其余部分与以上面的解法相同。
在时间复杂度方面，由于只需要遍历数组一次，在遍历数组的同时就可得到数组中正数（+）、负数（-）和0的个数，以及数组中绝对值最小的负数，绝对值最大的负数，最小的正数。时间复杂度为O（N）。
(http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/8701148)
