『数据结构与算法』二叉树

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1. 二叉树（Binary Tree）

二叉树是一棵特殊的树，其结构简单但很重要。二叉树的特点是每个节点最多有两棵子树，并且有左右之分。

• 满二叉树
  如果一棵二叉树的所有叶子节点都在最后一层，称为满二叉树。满二叉树的结点总数 = $2^n-1$ （n为层数）。如下图二叉是的层数为3，其结点总数为$2^3-1=7$
  

• 完全二叉树
  一棵深度为k的有n个结点的二叉树，对树中的节点按从上至下、从左到右的顺序进行编号，如果编号为i（1≤i≤n）的结点与满二叉树中编号为i的结点在二叉树中的位置相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。显示下图中a和b是完全二叉树，而c不是完全二叉树（倒数第二层不连续）

小结：一棵满二叉树一定是一棵完全二叉树；而一棵完全二叉树不一定是满二叉树。

2. 二叉树的五种形态

二叉树是递归定义的，其节点有左右子树之分，逻辑上二叉树有五种基本形态：

• 空二叉树（图a）
• 只有一个根节点的二叉树（图b）
• 只有左子树（图c）
• 只有右子树（图d）
• 完全二叉树（图e）

3. 二叉树的遍历（前序、中序、后序）

• 前序遍历：先输出父节点，再遍历左子树，最后遍历右子树。
• 中序遍历：先遍历左子树，再输出父节点，最后遍历右子树。
• 后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后输出父节点。

小结：用输出父节点的顺序来判断是前序、中序还是后序遍历

4. 代码实现

通过Java代码实现下图中二叉树，并通过三种方式遍历该二叉树（前序、中序、后序）。

Node类为节点类，其中element表示节点元素，left为左子节点，right为右子节点。

BinaryTree类实现二叉树的具体操作，如前序遍历、中序遍历、后序遍历。

public class BinaryTreeDemo {

    public static void main(String[] args) {

        BinaryTree tree = new BinaryTree();

        Node a = new Node("A");
        Node b = new Node("B");
        Node c = new Node("C");
        Node d = new Node("D");
        Node e = new Node("E");
        Node f = new Node("F");
        Node g = new Node("G");
        Node h = new Node("H");
        Node i = new Node("I");

        tree.setRoot(a);
        a.left = b;
        a.right = c;
        b.left = d;
        b.right = e;
        d.left = h;
        c.left = f;
        c.right = g;
        g.right = i;

        System.out.println("---------------前序遍历");
        tree.preOrder();
        System.out.println("---------------中序遍历");
        tree.inOrder();
        System.out.println("---------------后序遍历");
        tree.postOrder();

    }

    private static class BinaryTree {

        private Node root; // 根

        public void setRoot(Node root) {
            this.root = root;
        }

        /**
         * 前序遍历
         */
        public void preOrder() {
            preOrder(root, 0);
        }

        /**
         * 前序遍历
         *
         * @param node
         * @param depth 层级（用于辅助输出）
         */
        public void preOrder(Node node, int depth) {

            if (node == null) {
                return;
            }

            // 输出当前节点
            this.print(node, depth);

            // 递归左子节点
            if (node.left != null) {
                preOrder(node.left, depth + 1);
            }

            // 递归右子节点
            if (node.right != null) {
                preOrder(node.right, depth + 1);
            }

        }

        /**
         * 中序遍历
         */
        public void inOrder() {
            inOrder(root, 0);
        }

        /**
         * 中序遍历
         *
         * @param node
         * @param depth 层级（用于辅助输出）
         */
        public void inOrder(Node node, int depth) {

            if (node == null) {
                return;
            }

            // 递归左子节点
            if (node.left != null) {
                inOrder(node.left, depth + 1);
            }

            // 输出当前节点
            this.print(node, depth);

            // 递归右子节点
            if (node.right != null) {
                inOrder(node.right, depth + 1);
            }

        }

        /**
         * 后序遍历
         */
        public void postOrder() {
            postOrder(root, 0);
        }

        /**
         * 后序遍历
         *
         * @param node
         * @param depth 层级（用于辅助输出）
         */
        public void postOrder(Node node, int depth) {

            if (node == null) {
                return;
            }

            // 递归左子节点
            if (node.left != null) {
                postOrder(node.left, depth + 1);
            }

            // 递归右子节点
            if (node.right != null) {
                postOrder(node.right, depth + 1);
            }

            // 输出当前节点
            this.print(node, depth);

        }

        /**
         * 按照层级输出节点元素
         *
         * @param node
         * @param depth
         */
        private void print(Node node, int depth) {
            StringBuilder t = new StringBuilder();
            for (int i = 0; i < depth; i++) {
                t.append("\t");
            }
            System.out.printf("%s%s\n", t.toString(), node.element);
        }
    }

    private static class Node {
        private final Object element; // 节点元素
        private Node left; // 左子节点
        private Node right; // 右子节点

        public Node(Object element) {
            this.element = element;
        }
    }
}

输出结果：

---------------前序遍历
A
	B
		D
			H
		E
	C
		F
		G
			I
---------------中序遍历
			H
		D
	B
		E
A
		F
	C
		G
			I
---------------后序遍历
			H
		D
		E
	B
		F
			I
		G
	C
A