局部最小值问题

问题描述：有一个无序数组，且相邻两个元素间不相等，现在让我们找出该数组中的一个局部最小值，并返回对应的下标，要求程序的时间复杂度不能大于O(n)。

局部最小值：

在一个长度为n+1的数组中，局部最小值能有多个。如：

a[0]<a[1]，则a[0]就是一个局部最小值。

a[n]<a[n-1]，则a[n]就是一个局部最小值。

a[i]<a[i+1]&&a[i]<a[i-1],(0<i<n-1)，则a[i]就是一个局部最小值

由于题目要求编写的程序时间复杂度不能大于O(n)，所以我们想到使用二分查找的思想（二分查找时间复杂度为O(log2N)），但是一个无序的数组我们该怎么去查找它的局部最小值呢？

1.我们假设情况一：a[0]>a[1]，a[n]>a[n-1]，从图中可以看出开始a[0]到a[1]是一个数在减小往下走的趋势，而结束a[n-1]到a[n]是一个数在增大往上走的趋势，所以我们可以确定在a[0]到a[n]之间一定存在一个低谷值使得这个趋势的方向发生了改变，那这个低谷值就我们要找的一个局部最小值。

我们就可以使用二分查找将需要查找的区间减半，此时我们需要判断的就是就是a[mid]与a[mid+1]、a[mid-1]所表示的趋势，如以左边为例，如下图，若此时a[mid-1]到a[mid]是一个上升的趋势（其余情况同理）。所以在a[0]到a[mid]之间一定有一个低谷；不断减小范围，当找到一个低谷值，也就是局部最小值就返回。

注意：若此时a[mid]到a[mid+1]为下降趋势时，以mid为基准的两边我们就选择一边就行。

2.情况二：a[0]>a[1]&&a[n]<a[n-1]或a[0]<a[1]&&a[n]>a[n-1]，此时a[n]或a[0]就是一个局部最小值。

3.情况三：a[0]<a[1]&&a[n]<a[n-1]，则此时a[0]、a[n]都是一个局部最小值，选择一边返回下标即可。

具体代码如下：

#include <stdio.h>
#include <malloc.h>

int* creatArray(int* p,int length);
int binarySearchMin(int* p,int length);
int compare(int* p,int i);
int main()
{
　　int length = 0;
　　scanf_s("%d",&length);

　　int* p = (int*)malloc(length * sizeof(int));//定义长度为length的
　　if (p == NULL)
　　{　　
　　printf("内存分配失败！");
　　return 0;
　　}

　　p = creatArray(p,length);
　　int index = binarySearchMin(p,length);

　　printf("%d\n",index);

　　free(p);
　　p = NULL;
　　return 0;
}
int* creatArray(int* p,int length)
{
　　for (int i = 0; i < length; i++)
　　{
　　　　scanf_s("%d", &p[i]);
　　}
　　return p;
}
//查找
int binarySearchMin(int* p,int length)
{
　　int left = 0,right = length-1;
　　int mid = 0;
　　if (compare(p,left)==1&&compare(p,right-1)==-1)//头大尾大
　　{
　　　　while (left <= right)
　　　　{
　　　　　　mid = left + ((right - left) >> 1);
　　　　　　if (compare(p, mid) == -1 && compare(p, mid - 1) == 1) //p[mid]<p[mid+1]&&p[mid]<p[mid-1]
　　　　　　{
　　　　　　　　return mid;
　　　　　　}
　　　　　　else if (compare(p, mid) == 1)//左右只看一边
　　　　　　{
　　　　　　　　left = mid + 1;
　　　　　　}
　　　　　　else if (compare(p, mid - 1) == -1)
　　　　　　{
　　　　　　　　right = mid - 1;
　　　　　　}
　　　　}
　　}
　　else if (compare(p, left) == -1&&compare(p,right-1)==-1)//头小尾大
　　{
　　　　return left;
　　}
　　else if (compare(p,left)==1 && compare(p, right - 1) == 1)//头大尾小
　　{
　　　　return right;
　　}
　　else if (compare(p, left) == -1 && compare(p, right - 1) == 1)//头小尾小，(可以任选头尾返回)
　　{
　　　　return left;
　　}
　　　　return 0;
}
int compare(int* p, int i)
{
return p[i] > p[i + 1] ? 1 : -1;
}