算法题：李嘉诚保险柜密码问题

　　据说，李嘉诚的保险柜密码是一个 8 位的数字。他经常更换密码，但换密码的规则很简单，每次都把密码的数字 * 3，如果有位数溢出，就把最前面的那个数字挪到整个数字末尾加起来 —— 比如 98765432 就会变成 98765432 * 3 = 296296296, 但是这有 9 位, 把最前面的 2 加到末尾, 变成 96296298, 就是新密码。现在我们偷到了李嘉诚的保险柜，而且我们知道他最初的密码是 00000001, 已经迭代了 n 次，求一个算法，可以在 O(log n) 的时间内算出密码。

迭代分析第n次的密码计算公式：

X₀ = 0000 0001

X₁ = (3 * X₀) % 10⁸ + (3 * X₀) / 10⁸，显然，X₁< 10⁸

X₂ = (3 * X₁) % 10⁸ + (3 * X₁) / 10⁸

　  = {3 * [(3 * X₀) % 10⁸ + (3 * X₀) / 10⁸]} % 10⁸ + {3 * [(3 * X₀) % 10⁸ + (3 * X₀) / 10⁸]} / 10⁸

     = {3 * [(3 * X₀) % 10⁸]} % 10⁸ + {3 * [(3 * X₀) / 10⁸]}_{（显然其值<9）} % 10⁸ 

        + {3 * [(3 * X₀) % 10⁸ ]} / 10⁸ + {3 * [(3 * X₀) / 10⁸]} / 10⁸_{（显然其值趋于0）}

     = (3² * X₀) % 10_{（由分配率得）} + (3² * X₀) / 10⁸ + [(3² * X₀) % 10⁸ ] / 10⁸_{（趋于0忽略）} + 0

     = (3² * X₀) % 10 + (3² * X₀) / 10⁸

X₃ = (3³ * X₀) % 10 + (3³ * X₀) / 10⁸

以此类推可得：

X_n = (3ⁿ * X₀) % 10 + (3ⁿ * X₀) / 10⁸

又因：X₀ = 1，所以：X_n = 3ⁿ % 10 + 3ⁿ / 10⁸

关于计算3ⁿ：

1、简单处理的话可以n个3联乘，时间复杂度O(n)，当n较大时比较耗时，此题暂时不考虑大数问题；

2、当n为偶数时，3ⁿ=[3^(n/2)]²，当n为奇数时，3ⁿ=3*{3^[(n-1)/2]}²，时间复杂度O(log n)，此为最优解法。

Python实现如下：

def g(x):
    return x % 100000000 + x // 100000000

def f(x):
    if x == 1:
        return 3
    elif x % 2 == 0:
        return g(f(x / 2) * f(x / 2))
    elif x % 2 == 1:
        return g(f(1) * f(x - 1))

if __name__ == '__main__':
    print(f(50))

参考资料：

　　大整数求余数的问题分析

　　取模运算_运算规则_分配率——百度百科