Floyd算法思想

关键词：代数、图论、矩阵、松弛技术、动态规划 

　　Floyd算法是一个经典的动态规划算法。用通俗的语言来描述的话，首先我们的目标是寻找从点i到点j的最短路径。从动态规划的角度看问题，我们需要为这个目标重新做一个诠释（这个诠释正是动态规划最富创造力的精华所在），floyd算法加入了这个概念 

　　　　A^k(i,j)：表示从i到j中途不经过索引比k大的点的最短路径。 

　　这个限制的重要之处在于，它将最短路径的概念做了限制，使得该限制有机会满足迭代关系，这个迭代关系就在于研究：假设A^k(i,j)已知，是否可以借此推导出A^k-1(i,j)。 

　　假设我现在要得到A^k(i,j)，而此时A^k(i,j)已知，那么我可以分两种情况来看待问题：1. A^k(i,j)沿途经过点k；2. A^k(i,j)不经过点k。如果经过点k，那么很显然，A^k(i,j) = A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j)，为什么是A^k-1呢？因为对(i,k)和(k,j)，由于k本身就是源点（或者说终点），加上我们求的是A^k(i,j)，所以满足不经过比k大的点的条件限制，且已经不会经过点k，故得出了A^k-1这个值。那么遇到第二种情况，A^k(i,j)不经过点k时，由于没有经过点k，所以根据概念，可以得出A^k(i,j)=A^k-1(i,j)。现在，我们确信有且只有这两种情况---不是经过点k，就是不经过点k，没有第三种情况了，条件很完整，那么是选择哪一个呢？很简单，求的是最短路径，当然是哪个最短，求取哪个，故得出式子： 

    　　A^k(i,j) = min( A^k-1(i,j), A^k-1(i,k) + A^k-1(k,j) )

　　因此floyd的最外层循环：
　　　　for (k = 0; k < n; k++) ...
　　就是分别求出 A0(i,j), A1(i,j), ..., An(i,j) 

 

　　算法描述：

　　　　(1) 用数组dis[i][j]来记录i,j之间的最短距离。初始化dis[i][j],

　　　　　　若i=j则dis[i][j]=0,

　　　　　　若i,j之间有边连接则dis[i][j]的值为该边的权值，否则dis[i][j]的值为 。

　　　　(2) 对所有的k值从1到n,修正任意两点之间的最短距离,计算dis[i][k]+dis[k][j]的值，若小于dis[i][j],则dis[i][j]= dis[i][k]+dis[k][j]，否则dis[i][j]的值不变

程序：

void Floyd(int dis[n + 1][n + 1], int path[n + 1][n + 1], int n)
{
    int i, j, k;
    for (k = 1; k <= n; k++) {
        for (i = 1; i <= n; i++) {
            for (j = 1; j <= n; j++) {
                if (dis[i][k] + dis[k][j] {
                    dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
                    Path[i][j] = k;
                }
            }
        }
    }
}

正确性证明(归纳法) ：

　　对于任意两点A，B：

　　　　（1）当从A到B之间的最短路径，在中间没有经过顶点或经过1个顶点号为1的顶点时，算法显然正确。

　　　　（2）假设A到B经过的最大顶点号不超过k-1时，算法得到的最短距离是正确的

　　　　（3）当A到B经过的最大顶点号为k时，则从A到顶点号为k的顶点v 之间的顶点号均不大于k-1，从v 到B之间的顶点号也不大于k-1，由假设2得，

　　　　　　  A到vk的距离是中间顶点号不超过k-1的最短距离，vk到B的距离是中间顶点号不超过k-1的最短距离，所以A经vk到B为A，B之间经过最大号

　　　　　　  为k的路径中距离最短的，由算法修正A，B的最短距离，即可得到A，B间顶点号不超过k的最短距离。

　　　　（4）综上所述，算法是正确的

　　时间复杂度：O（n3）