[BZOJ4827][Hnoi2017]礼物（FFT）

4827: [Hnoi2017]礼物

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Description

我的室友最近喜欢上了一个可爱的小女生。马上就要到她的生日了，他决定买一对情侣手 环，一个留给自己，一

个送给她。每个手环上各有 n 个装饰物，并且每个装饰物都有一定的亮度。但是在她生日的前一天，我的室友突

然发现他好像拿错了一个手环，而且已经没时间去更换它了！他只能使用一种特殊的方法，将其中一个手环中所有

装饰物的亮度增加一个相同的自然数 c（即非负整数）。并且由于这个手环是一个圆，可以以任意的角度旋转它，

但是由于上面 装饰物的方向是固定的，所以手环不能翻转。需要在经过亮度改造和旋转之后，使得两个手环的差

异值最小。在将两个手环旋转且装饰物对齐了之后，从对齐的某个位置开始逆时针方向对装饰物编号 1,2,…,n，

其中 n 为每个手环的装饰物个数，第 1 个手环的 i 号位置装饰物亮度为 xi，第 2 个手 环的 i 号位置装饰物

亮度为 yi，两个手环之间的差异值为(参见输入输出样例和样例解释)： \sum_{i=1}^{n}(x_i-y_i)^2麻烦你帮他

计算一下，进行调整（亮度改造和旋转），使得两个手环之间的差异值最小， 这个最小值是多少呢？

Input

输入数据的第一行有两个数n, m，代表每条手环的装饰物的数量为n，每个装饰物的初始 亮度小于等于m。

接下来两行，每行各有n个数，分别代表第一条手环和第二条手环上从某个位置开始逆时 针方向上各装饰物的亮度。

1≤n≤50000, 1≤m≤100, 1≤ai≤m

Output

输出一个数，表示两个手环能产生的最小差异值。

注意在将手环改造之后，装饰物的亮度 可以大于 m。

Sample Input

5 6
1 2 3 4 5
6 3 3 4 5

Sample Output

1
【样例解释】
需要将第一个手环的亮度增加1，第一个手环的亮度变为： 2 3 4 5 6 旋转一下第二个手环。对于该样例，是将第
二个手环的亮度6 3 3 4 5向左循环移动 2017-04-15 第 6 页，共 6 页 一个位置，使得第二手环的最终的亮度为
：3 3 4 5 6。 此时两个手环的亮度差异值为1。

HINT

Source

Solution

　　由于是多项式第一题所以抄的yyb的题解（说的像我后面就能自己做一样。。。）

　　为了方便，我们从0开始编号，然后答案就是下面这个式子

　　\[{\mathop{ \sum }\limits_{{i=0}}^{{n-1}}{\mathop{{{ \left( {\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}\mathop{{-y}}\nolimits_{{i+k}}+c} \right) }}}\nolimits^{{2}}}}\]

　　其中${c}$的取值范围为${ \left[ {-m,m} \right] }$，因为一旦超过这个范围，$c+{\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}$的绝对值一定大于${\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}}$的绝对值，这样把$c$+1或-1一定能使答案更小。

　　把答案式子拆开：

　　\[{{ \sum {\mathop{{\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{2}}}}+{ \sum {\mathop{{\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}}\nolimits^{{2}}}-{2 \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}+n\mathop{{c}}\nolimits^{{2}}+}}2c \left( { \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i}}}-{ \sum {\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}}} \right) }\]

　　c可以枚举，所以除了${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}}$都算常数项了，接下来考虑如何最大化${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}}$

　　显然不能n^2暴力乘。我们把$x$看成一个多项式，把$y$ reverse一下，也看成一个多项式，然后做卷积，发现卷积后第n-1项的系数恰好就是${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i}}}}$。

　　解法呼之欲出：把$y$(reverse后的)复制一遍接在后面，然后跟$x$做卷积，那么卷积后第n-1+k项的系数就是${ \sum {\mathop{{x}}\nolimits_{{i\text{ }}}\mathop{{y}}\nolimits_{{i+k}}}}$。

　　//公式编辑得好累……

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<19;
const double pi=acos(-1.0);
inline int read(){
    int x=0,w=0;char ch=0;
    while(!isdigit(ch)) w|=ch=='-',ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
    return w?-x:x;
}
struct cp{
    double x,y;
    cp(double xx=0,double yy=0):x(xx),y(yy){};
    cp operator + (const cp &tmp)const{return cp(x+tmp.x,y+tmp.y);}
    cp operator - (const cp &tmp)const{return cp(x-tmp.x,y-tmp.y);}
    cp operator * (const cp &tmp)const{return cp(x*tmp.x-y*tmp.y,x*tmp.y+y*tmp.x);}
};
int n,m,ans,ss,sa[N],sb[N],rev[N],res[N];
cp a[N],b[N];
void fft(int n,cp a[],int fg){
    for(int i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
    for(int m=1,len=m<<1;m<n;m<<=1,len<<=1){
        cp I=cp(cos(pi/m),fg*sin(pi/m));
        for(int i=0;i<n;i+=len){
            cp w=cp(1,0),t;
            for(int j=0;j<m;++j,w=w*I)
                t=a[i+j+m]*w,
                a[i+j+m]=a[i+j]-t,
                a[i+j]=a[i+j]+t;
        }
    }
}
void pre(){
    for(int i=0;i<n;++i) a[i].x=sa[i+1],b[i].x=b[i+n].x=sb[n-i];
    int lim=1,l=0;
    while(lim<=(n*3-3)) lim<<=1,++l;
    for(int i=0;i<lim;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
    fft(lim,a,1),fft(lim,b,1);
    for(int i=0;i<lim;++i) a[i]=a[i]*b[i];
    fft(lim,a,-1);
    for(int i=0;i<lim;++i)
        res[i]=(int)(a[i].x/lim+0.5);
}
int main(){
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sa[i]=read();
        ans+=sa[i]*sa[i];   
        ss+=sa[i]; 
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        sb[i]=read();
        ans+=sb[i]*sb[i];
        ss-=sb[i];
    }
    pre();
    int tmp=0;
    for(int k=0;k<n;++k) tmp=max(tmp,res[n-1+k]);
    ans-=(tmp<<1);tmp=0x3f3f3f3f;
    for(int c=-m;c<=m;++c) tmp=min(tmp,n*c*c+2*c*ss);
    cout<<ans+tmp<<endl;
    return 0;
}