【长理友谊赛B Fast Food】【动态规划】

【长理友谊赛B Fast Food】【动态规划】

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【原题链接】

cust：

http://acm.cust.edu.cn:8081/JudgeOnline/showproblem?problem_id=1019

 

pku：

http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=1485

 

【题目大意】

一条公路上有n个旅馆，选出其中k个设置仓库，一个仓库可服务若干个旅馆，一个旅馆只需一个仓库服务。问在哪几个旅馆设置仓库，每个仓库服务哪些旅馆，可使得旅馆到仓库的总距离最小，并求出总距离（长理只要求求最后一步）。

 

【数据范围】

1 <= n <= 200, 1 <= k <= 30, k <= n

 

【解题思想】

1、此题属于明显动态规划题，关键点是找状态转移方程。

2、可以用sum[i][j]表示前i个旅馆，设置j个仓库得到的距离和最小值，那么sum[n][k]即为所求。

3、找sum[i][j]的子结构，假设前j-1个仓库服务第1个到第k个旅馆，则最后一个仓库服务第k+1个到第i个旅馆。

4、可以用one[i][j]表示一个仓库服务第i个到第j个旅馆，到这个仓库距离和的最小值。

5、则得到状态转移方程：sum[i][j]=min(sum[k][j-1]+one[k+1][i]) (j-1<=k<=i-1，min表示所有k取值得到的值中的最小值)。

6、问题转换为了求one[i][j]，即在第i到第j家旅馆中设置一个仓库的总距离。

7、假设i到j共有奇数家旅馆，我们尝试将仓库放置在中间旅馆，即旅馆(i+j)/2，假设将仓库左移距离x，则右半边所有旅馆到仓库距离均加x，而只有部分左半边旅馆距离减少了x，剩下的减少均小于x，甚至不减少。因此可以得到，将仓库从中间位置左移到任何位置总距离都会增加，右移同理，因此仓库放到旅馆(i+j)/2最合适。

8、假设i到j共有偶数家旅馆，容易得到将仓库放到(i+j-1)/2和(i+j+1)/2得到的总距离相等（对称性），若将仓库放到(i+j-1)/2，并左移，则用7相似的想法可得知总距离增大，右移情况同理，由此得知仓库放到(i+j-1)/2这个位置即可满足总距离最小。

9、由7、8得到one[i][j]实际上时将仓库放到(i+j)/2取整位置可得到最小的总距离。

10、数据范围较小，我们可以计算出一切one[i][j]的组合。到此，cust的题目已经解决。

 

【AC代码（长理）】

 

#include <iostream>

#define MAX 200000000

using namespace std;

 

long r[300],sum[300][40],one[300][300];

 

int main()

{

    long n,K,i,j,k,middle,min,get,c=1;

    while(cin>>n>>K&&(n||K))

    {

        for(i=1;i<=n;i++) cin>>r[i];

        memset(one,0,sizeof(one));

        memset(sum,0,sizeof(sum));

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            for(j=1;j<=n;j++)

            {

                middle=(i+j)/2;

                for(k=i;k<middle;k++)

                   one[i][j]+=r[middle]-r[k];

                for(k=middle+1;k<=j;k++)

                    one[i][j]+=r[k]-r[middle];

            }

        }//计算one组合值

        for(i=1;i<=n;i++) sum[i][0]=MAX;

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            for(j=1;j<=i&&j<=K;j++)

            {

                sum[i][j]=MAX;

                for(k=j-1;k<=i-1;k++)

                {

                    get=sum[k][j-1]+one[k+1][i];

                    if(get<sum[i][j]) sum[i][j]=get;

                }

            }

        }//根据状态转移方程进行动态规划

        cout<<"Chain "<<c++<<endl;

        cout<<"Total distance sum = "<<sum[n][K]<<endl<<endl;

    }

    return 0;

}

 

【解题思想】

11、由于poj还要求输出在哪几个旅馆设置仓库，每个仓库服务哪些旅馆，因此还需要存储动态规划路径。

12、可用at[i][j],from[i][j],to[i][j]分别表示sum[i][j]得到最小值时最后一个仓库的位置、服务的起始位置和服务的终止位置。

13、通过递归输出结果。至此，pku的题目也已解决。

 

【AC代码】

 

#include <iostream>

#define MAX 200000000

using namespace std;

 

long r[300],sum[300][40],one[300][300];

long from[300][40],to[300][40],at[300][40];

 

long printDetail(long i, long j)//递归输出

{

    if(j<=0||i<=0) return 1;

    long num=printDetail(from[i][j]-1,j-1);

    cout<<"Depot "<<num<<" at restaurant "<<at[i][j]<<" serves ";;

    if(from[i][j]==to[i][j]) cout<<"restaurant "<<from[i][j]<<endl;

    else cout<<"restaurants "<<from[i][j]<<" to "<<to[i][j]<<endl;

    return num+1;

}

 

int main()

{

    long n,K,i,j,k,middle,min,get,c=1;

    while(cin>>n>>K&&(n||K))

    {

        for(i=1;i<=n;i++) cin>>r[i];

        memset(one,0,sizeof(one));

        memset(sum,0,sizeof(sum));

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            for(j=1;j<=n;j++)

            {

                middle=(i+j)/2;

                for(k=i;k<middle;k++)

                   one[i][j]+=r[middle]-r[k];

                for(k=middle+1;k<=j;k++)

                    one[i][j]+=r[k]-r[middle];

            }

        }

        for(i=1;i<=n;i++) sum[i][0]=MAX;

        for(i=1;i<=n;i++)

        {

            for(j=1;j<=i&&j<=K;j++)

            {

                sum[i][j]=MAX;

                for(k=j-1;k<=i-1;k++)

                {

                    get=sum[k][j-1]+one[k+1][i];

                    if(get<sum[i][j])

                    {

                        sum[i][j]=get;

                        from[i][j]=k+1;

                        to[i][j]=i;

                        at[i][j]=(k+1+i)/2;

                    }//记录动态规划路径

                }

            }

        }

        cout<<"Chain "<<c++<<endl;

        printDetail(n,K);

        cout<<"Total distance sum = "<<sum[n][K]<<endl<<endl;

    }

    return 0;

}

 

[/code]