详解扔鸡蛋问题
887. 鸡蛋掉落
你将获得 K 个鸡蛋，并可以使用一栋从 1 到 N 共有 N 层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的，如果一个蛋碎了，你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F ，满足 0 <= F <= N 任何从高于 F 的楼层落下的鸡蛋都会碎，从 F 楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动，你可以取一个鸡蛋（如果你有完整的鸡蛋）并把它从任一楼层 X 扔下（满足 1 <= X <= N）。
你的目标是确切地知道 F 的值是多少。
无论 F 的初始值如何，你确定 F 的值的最小移动次数是多少？
示例 1：
输入：K = 1, N = 2
输出：2
解释：
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 0 。
否则，鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了，我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎，那么我们肯定知道 F = 2 。
因此，在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
示例 2：
输入：K = 2, N = 6
输出：3
本题是谷歌用于面试的一道经典面试题之一。由于本题过于经典，谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。
思路
假设\(N=100\)
-
如果只有一个蛋 \(K=1\)
只能从第一层开始，一层一层往上试，最差情况就要扔100次
-
无限个蛋 \(K=\infty\)
使用二分查找
第一个蛋从50楼开始扔，如果碎了，那么临界楼层就在0-50之间，否则就在50-100；
第二个蛋在25层扔，碎了，在0-25之间，否则在25-50
所以要扔的次数\(M\)满足 $2^M >= 100 , M>=6.64 $, 至少需要7次
-
两个蛋\(K=2\)
试想一下，如果第一个蛋在某些情况下碎了，那就只剩下一个蛋，退化为第一种问题，只能一层一层往上试，所以第一个蛋的作用应该在与缩小范围，然后用第二个蛋试
两个蛋\(A,B\)
A：先在第10层扔，没碎就在20层扔，没碎在30层扔……。也就是依次在10,20，……，100层扔，A最多可以扔10次
B：假如A已经确定了范围，在10层没碎，在20层碎了，那么就用B在10-20依次尝试。
最坏情况下A在100层碎了，B在99层碎了，需要10+9次
在刚才的情况中，每次扔鸡蛋的楼层都是等间隔的，B每次要扔的次数都是一样的，如果临界楼层比较靠后，A扔的次数就多了，如果让间隔变得不等，A每多扔一次，B的范围就缩小一次，这样总次数就可以平均下，也许会更好，我们尝试下
第一次在第n层扔，第二次加n-1层，第三次加n-2层……，也就是A每次扔的间隔都会缩小一，\(n,n-1,n-2,...\) ，\(1+2+3+……+n=n(n+1)/2>=100 ，n>=13.65\)，取n=14
A： 14, 27，39， 50， 60， 69 ，77， 84， 90， 95， 99, 100
这种方法扔鸡蛋次数在12-14之间，最坏情况14次
- \(K\)个蛋，\(N\)层，最小移动次数\(M(K,N)\)
先从最简单情况说起，画一个表，3层楼，4个蛋
| 1 | 2 | 3 | 4 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 2 | |||
| 3 | 3 |
第一行，只有一层楼
第一列，只有一个蛋
假如第一个蛋在\(T\)层扔，碎，临界楼层在前面，不碎，在后面
最坏情况下要扔多少层：\(max\{M(K-1,T-1),M(K,N-T)\}+1 = M_T(K,N)\)
表示在第一个蛋扔到\(T\)层时，需要扔鸡蛋的个数，不要忘了加1（扔到第\(T\)层的一次操作）
问题来了，第一个\(T\)怎么确定？
最直接的方法就是遍历，以每层作为起始的第一个\(T\)
| T | 1 | 2 | …… | N |
|---|---|---|---|---|
| \(M_T\) | \(M_1\) | \(M_2\) | …… | \(M_N\) |
第一个蛋可以扔在任意一层，在所有扔法中选最小值
\(M(K,N) = min\{M_1,M_2,……,M_N\}\)
利用动态规划填表就可以求解上述问题
代码
#动态规划
def eggdrop(K,N):
#建表 n行 k列
dp = [[float('inf')]*(K+1) for _ in range(N+1)]
#初始化 楼层为1 蛋为1
for i in range(1,K+1):#0层 和 1层
dp[0][i] = 0
dp[1][i] = 1
for i in range(1,N+1):#0个蛋 和 1个蛋
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = i
#填表 下面代码表示先填列
for k in range(2,K+1):#不同蛋总数
for n in range(2,N+1):#不同楼层总数
for t in range(1,n):
dp[n][k] = min(dp[n][k],max(dp[t-1][k-1],dp[n-t][k])+1)
return dp[N][K]
复杂度
时间复杂度：\(O(N^2K)\)，三层循环
空间复杂度：\(O(NK)\),表的大小
注意到上述选取\(T\)的过程：遍历每一个楼层，计算对应的值
\(M(K-1,T-1)\)：随T增加而增加
\(M(K,N-T)\)：随T减小而减小
使用二分查找
#二分查找
#动态规划
def eggdrop(K,N):
#建表 n行 k列
dp = [[float('inf')]*(K+1) for _ in range(N+1)]
#初始化 楼层为1 蛋为1
for i in range(1,K+1):#0层 和 1层
dp[0][i] = 0
dp[1][i] = 1
for i in range(1,N+1):#0个蛋 和 1个蛋
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = i
#求解
for k in range(2,K+1):#不同蛋数结果
for n in range(2,N+1):#不同楼层数
left = 1;
right = n;
while (left < right):
mid = left + (right - left+1) // 2;
breakCount = dp[mid - 1][k - 1]
notBreakCount = dp[n - mid][k]
if (breakCount > notBreakCount):
right = mid - 1
else:
left = mid;
dp[n][k] = min(dp[n][k],max(dp[left-1][k-1],dp[n-left][k])+1)
return dp[N][K]
复杂度
时间复杂度：\(O(KNlogN)\)
空间复杂度：\(O(NK)\),表的大小
references:
李永乐老师视频
