详解扔鸡蛋问题
887. 鸡蛋掉落
你将获得 K
个鸡蛋,并可以使用一栋从 1
到 N
共有 N
层楼的建筑。
每个蛋的功能都是一样的,如果一个蛋碎了,你就不能再把它掉下去。
你知道存在楼层 F
,满足 0 <= F <= N
任何从高于 F
的楼层落下的鸡蛋都会碎,从 F
楼层或比它低的楼层落下的鸡蛋都不会破。
每次移动,你可以取一个鸡蛋(如果你有完整的鸡蛋)并把它从任一楼层 X
扔下(满足 1 <= X <= N
)。
你的目标是确切地知道 F
的值是多少。
无论 F
的初始值如何,你确定 F
的值的最小移动次数是多少?
示例 1:
输入:K = 1, N = 2
输出:2
解释:
鸡蛋从 1 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 0 。
否则,鸡蛋从 2 楼掉落。如果它碎了,我们肯定知道 F = 1 。
如果它没碎,那么我们肯定知道 F = 2 。
因此,在最坏的情况下我们需要移动 2 次以确定 F 是多少。
示例 2:
输入:K = 2, N = 6
输出:3
本题是谷歌用于面试的一道经典面试题之一。由于本题过于经典,谷歌公司已经不再将这题作为面试的候选题目了。
思路
假设\(N=100\)
-
如果只有一个蛋 \(K=1\)
只能从第一层开始,一层一层往上试,最差情况就要扔100次
-
无限个蛋 \(K=\infty\)
使用二分查找
第一个蛋从50楼开始扔,如果碎了,那么临界楼层就在0-50之间,否则就在50-100;
第二个蛋在25层扔,碎了,在0-25之间,否则在25-50
所以要扔的次数\(M\)满足 $2^M >= 100 , M>=6.64 $, 至少需要7次
-
两个蛋\(K=2\)
试想一下,如果第一个蛋在某些情况下碎了,那就只剩下一个蛋,退化为第一种问题,只能一层一层往上试,所以第一个蛋的作用应该在与缩小范围,然后用第二个蛋试
两个蛋\(A,B\)
A:先在第10层扔,没碎就在20层扔,没碎在30层扔……。也就是依次在10,20,……,100层扔,A最多可以扔10次
B:假如A已经确定了范围,在10层没碎,在20层碎了,那么就用B在10-20依次尝试。
最坏情况下A在100层碎了,B在99层碎了,需要10+9次
在刚才的情况中,每次扔鸡蛋的楼层都是等间隔的,B每次要扔的次数都是一样的,如果临界楼层比较靠后,A扔的次数就多了,如果让间隔变得不等,A每多扔一次,B的范围就缩小一次,这样总次数就可以平均下,也许会更好,我们尝试下
第一次在第n层扔,第二次加n-1层,第三次加n-2层……,也就是A每次扔的间隔都会缩小一,\(n,n-1,n-2,...\) ,\(1+2+3+……+n=n(n+1)/2>=100 ,n>=13.65\),取n=14
A: 14, 27,39, 50, 60, 69 ,77, 84, 90, 95, 99, 100
这种方法扔鸡蛋次数在12-14之间,最坏情况14次
- \(K\)个蛋,\(N\)层,最小移动次数\(M(K,N)\)
先从最简单情况说起,画一个表,3层楼,4个蛋
1 | 2 | 3 | 4 | |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
2 | 2 | |||
3 | 3 |
第一行,只有一层楼
第一列,只有一个蛋
假如第一个蛋在\(T\)层扔,碎,临界楼层在前面,不碎,在后面
最坏情况下要扔多少层:\(max\{M(K-1,T-1),M(K,N-T)\}+1 = M_T(K,N)\)
表示在第一个蛋扔到\(T\)层时,需要扔鸡蛋的个数,不要忘了加1(扔到第\(T\)层的一次操作)
问题来了,第一个\(T\)怎么确定?
最直接的方法就是遍历,以每层作为起始的第一个\(T\)
T | 1 | 2 | …… | N |
---|---|---|---|---|
\(M_T\) | \(M_1\) | \(M_2\) | …… | \(M_N\) |
第一个蛋可以扔在任意一层,在所有扔法中选最小值
\(M(K,N) = min\{M_1,M_2,……,M_N\}\)
利用动态规划填表就可以求解上述问题
代码
#动态规划
def eggdrop(K,N):
#建表 n行 k列
dp = [[float('inf')]*(K+1) for _ in range(N+1)]
#初始化 楼层为1 蛋为1
for i in range(1,K+1):#0层 和 1层
dp[0][i] = 0
dp[1][i] = 1
for i in range(1,N+1):#0个蛋 和 1个蛋
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = i
#填表 下面代码表示先填列
for k in range(2,K+1):#不同蛋总数
for n in range(2,N+1):#不同楼层总数
for t in range(1,n):
dp[n][k] = min(dp[n][k],max(dp[t-1][k-1],dp[n-t][k])+1)
return dp[N][K]
复杂度
时间复杂度:\(O(N^2K)\),三层循环
空间复杂度:\(O(NK)\),表的大小
注意到上述选取\(T\)的过程:遍历每一个楼层,计算对应的值
\(M(K-1,T-1)\):随T增加而增加
\(M(K,N-T)\):随T减小而减小
使用二分查找
#二分查找
#动态规划
def eggdrop(K,N):
#建表 n行 k列
dp = [[float('inf')]*(K+1) for _ in range(N+1)]
#初始化 楼层为1 蛋为1
for i in range(1,K+1):#0层 和 1层
dp[0][i] = 0
dp[1][i] = 1
for i in range(1,N+1):#0个蛋 和 1个蛋
dp[i][0] = 0
dp[i][1] = i
#求解
for k in range(2,K+1):#不同蛋数结果
for n in range(2,N+1):#不同楼层数
left = 1;
right = n;
while (left < right):
mid = left + (right - left+1) // 2;
breakCount = dp[mid - 1][k - 1]
notBreakCount = dp[n - mid][k]
if (breakCount > notBreakCount):
right = mid - 1
else:
left = mid;
dp[n][k] = min(dp[n][k],max(dp[left-1][k-1],dp[n-left][k])+1)
return dp[N][K]
复杂度
时间复杂度:\(O(KNlogN)\)
空间复杂度:\(O(NK)\),表的大小
references:
李永乐老师视频