详解数组分段和最大值最小问题（最小m段和问题）
数组分段和最大值最小问题（最小m段和问题）
问题描述
给定n个整数组成的序列，现在要求将序列分割为m段，每段子序列中的数在原序列中连续排列。如何分割才能使这m段子序列的和的最大值达到最小？
清洁工：假设有n个房间，清洁每个房间耗时用一个数组表示，10、20、30、40、50、60、70、80、90，安排m个清洁工，将连续的房间分成m份，每部分耗时求和，其最大值为此种分法的总耗时。求最快的耗时是多少。例如3个清洁工的话，10 20 30 40 50 | 60 70 | 80 90，此时是最快的，耗时为170。
装桶：把数据按顺序装入桶中，m即是给定的桶数，问桶的容量至少应该为多少才能恰好把这些数装入m个桶中
思路
先考虑最简单的情况，假设有 \(1\) 个数，只有一个桶，\(m=1\)：至少需要容量为该数的值；
- 如果 \(n\) 个数，只有一个桶，\(m=1\)：至少需要容量为 \(n\) 个数之和；
- 如果 \(2\) 个数，两个桶，\(m=2\)：至少需要容量为两数之间最大值
- 如果 \(t\) 个数，两个桶，\(m=2\) 呢？
我们将 \(t\) 个数划分为两份，随机选一个划分位置 \(k\)
10, 20, 30, 40, | 50, 60, 70, 80, 90
就变成两部分： \(k\) 个数分到 1 个桶；\(t-k\) 个数分到一个桶
最少所需容量为 \(f(t,2) = min\{max[f(k,1),f(t-k,1)]\},1\leq k < t\)，其中 \(f(t-k,1)\) 表示后 \(t-k\) 个数之和，表示为\(f(t-k,1) = f(t，1)-f(k,1)\)
- 现在考虑 \(n\) 个数，\(m\) 个桶：
我们同样将 \(n\) 个数划分为两份，即前 \(m-1\) 个桶和最后 \(1\) 个桶，随机选一个划分位置 \(k\)：
可以使用递归求解了，但是太耗时。我们使用动态规划填表就可以搞定了：
可以用行表示对应的数字，列表示桶的数目，对1,2,3,4,5，两个桶：
| 桶1 | 桶2 | |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 2 | 3 | 2 |
| 3 | 6 | 3 |
| 4 | 10 | 7 |
| 5 | 15 | 9 |
coding：
#---python
#动态规划
# dp[i][j] = min(max(dp[k][j-1],dp[i][1]-dp[k][1]))
def dp_minMsum(nums,m):
n = len(nums)
dp = [[float('inf')]*(m+1) for _ in range(n+1)]
#初始化
for i in range(1,n+1):#只有一个桶
dp[i][1] = sum(nums[:i])
for j in range(1,m+1):#只有一个数
dp[1][j] = nums[0]
for i in range(2,n+1):
for j in range(2,m+1):
for k in range(1,i+1):
dp[i][j] = min(dp[i][j],max(dp[k][j-1],dp[i][1]-dp[k][1]))
return dp[-1][-1]
测试下：
>>> nums = [5,3,2,4,1]
>>> m = 2
>>> dp_minMsum(nums,m)
8
>>> nums = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90]
>>> m=3
>>> dp_minMsum(nums,m)
170
复杂度
时间复杂度：\(O(MN^2)\)
空间复杂度：\(O(NM)\)
二分查找优化
给定当前的桶容量，可以计算出需要的最少桶数：
如果需要的桶数量大于给定的桶数量k，说明桶容量太小了，增大容量；
如果计算需要的桶数量小于等于k，说明桶容量可能大了（也可能正好是要找的最小桶容量）
- 在给定容量时，求需要桶数
- 二分搜索桶容量
coding：
#---python
#根据桶容量进行二分查找对应的桶数
def bs_minMsum(nums,m):
low = max(nums)#容量下界 最大元素
high = sum(nums)#容量上界 元素和
while low < high:
mid = low+(high-low)//2
buckets = get_buckets(nums,mid)
if buckets <= m:#该容量下桶数 小于 给定桶数。减小容量
high = mid
else: #桶数 大于 给定桶数。增大容量
low = mid +1
return low
def get_buckets(nums,volume):
buckets = 1
ans = 0
for num in nums:
ans += num
if ans > volume:
buckets += 1
ans = num
return buckets
复杂度
时间复杂度：\(O(Nlog(\sum n))\),\(\sum n\) 为给定数组的元素和
空间复杂度：\(O(1)\)
