由判断三一点是否在三角形内部而引发的思考.....

判断一个点是否在三角形里面（包括边界上），这个问题对于许多初学者来说，可谓是一头雾水，如何判断呢？

假如有四个点A（x0,y0）,B(x1,y1),C(x2,y2),D(x,y),要你来判断D点是否包含在三角形ABC里面，也许你会想到用

在判断是否构成三角形 之后在用公式计算面积
但给三根线算长度太复杂了 有没有比较好点的算法 比如SIN 或者 点到直线距离.....

       也就是 海伦公式 ，这也许不会很难想到毕竟在高中都学过的....

                  海伦公式:
                           L = (a+b+c)/2   （L为三角形的半周长）
                           S = sqrt(L*(L-a)*(L-b)*(L-c))    （S为其面积）

                   正弦公式
                         S = (1/2)*a*b*sinα (α是a,b两线夹角) 

但是正如所说的那样，计算每一条边是比较麻烦的，而且还容易出现精度问题。而在计算中我们应该避免这一点。

    那有没有其他的方法可循呢？

        答案很定是有的.....

    用行列式（涉及到大学线代里的知识）。

        对于 A，B，C

  我们有           |x0  y0 1|

            2*s = |x1  y1 1|=x0*y1+y0*x2+x1*y2-(x2*y1+x1*y0+y2*x0)

                     |x2  y2 1|

 这样我们就可以求出任意的三角形的有向面积啦！！

  如果有一点D，包含于abc里面，那么很定满足下面的条件

                     然后三角形 Sabc =Sdab+Sdbc+Sdca;

这样所要求的判断就可以得出啦！！

   另外附上一则比较重要的知识：

                  来自百度的....说得非常详细，就不在多说啦！！

   http://hi.baidu.com/wayright/item/ad18e4c0c5446b2dee4665c9

  

如何判断一个点是否在一个多边形内部

•       在多边性的存储中，每一个多边形都是由一系列连续的点组成，例如保存为数组Polygon[5]，表示这个多边形是由5个点组成，这5个点顺序地存储在了数组Polygon之中。就如同走路一般地划线，从数组的第一个点连到第五个点，多边行就构造出来了。

•       在图形编程中，坐标的利用是不可忽视的。在这里判断一个点是否在多边行内部（可以包括线上）就要利用到各个点的坐标关系。下面开始讨论具体的方法。

•       对任何事物的分析，我们应该遵守由简入繁的原则，这样才能提高条理性，少犯错误。我们先判断一个点是否在一个三角形内部。一个三角形在一个坐标系（譬如由A、B、C三点组成）中，我们可以通过计算它的有向面积来判断A、B、C三点在坐标系中的顺逆。当然，在此之前我们必须先订立一套计算面积的规则。比如，在笛卡尔坐标系中，我们利用：

•       S=((A.x-B.x)*(A.y+B.y)+(B.x-C.x)*(B.y+C.y)+(C.x-A.x)*(C.y+B.y))/2     ----------------------------------   <1>来计算三角形的有向面积。规则即是：从第一点开始，用前一点横坐标减后一点横坐标与两坐标之和的乘积求梯形面积，直到完成多边性的封闭，得到三角形的有向面积。此时，如果求出的值是正的（S>0），则得出A->B->C为逆时针，否则为顺时针。到这里，我们知道如何判断一个三角形的顺逆的方法。

•       对于凸多边形而言（以三角形ABC为例），假设存在一个点D，若这个点在三角形的内部，则以该点为起点，和原多边形的任意两个连续的且尊照多边形组成方向的点（如DAB、DBC、DCA）组成的三角形讲都是一个方向，如DAB和DBC都是顺时针方向。若这个点在三角形的外部，则会出现DAB、DBC、DCA三个三角形方向不一致的情形，即其中有一个不同于另外两个（如一个顺，两个逆）。到这里我们就知道了如何判断一个点在一个三角形内部的算法，总结一下就是通过判断该点同三角形连续两点组成三角形的顺逆性（归于面积的正负）来得到结果的。 

•       实际上，对于其他的凸多边性也可以用一样的方法，只是这个时候判断的三角形的数目增加了，不管怎么样，只要点在多边形内部他们的顺逆都是一样的。对于凹多边形而言，情况就要相对复杂一些了。此时，判断一个点是否在其内部的计算量会增加比较多。具体算法如下：此时三角形一个个的判断可能会失效，我们应当两个同时判断。即判断该点是否同时在多边形的连续两个三角形之中，相当于是求两个三角形的交集，直到完成多边形封闭。例如，判断P点是否在多边形ABCD之中，依次判断P是否在ABC-BCD、BCD-CDA、CDA-DAB、DAB-ABC各个成对三角形中，P在ABC-BCD中表示P在ABC-BCD的交集之中。这样就可以判断一个点是否在一个凹多边形内部了。

•       以上说的仅仅是简单多边形而已，在复杂多变形之中（如内洞、飞地等），还要通过多边形的拓扑运算来得到结果。另外，在凸边形中，还可以进行优化：可以以一个点为中心，分裂多边形为最少个数的三角形，从而得到改进。

 暂且归纳这多，留着以后继续补充......