单调栈的介绍以及一些基本性质
单调栈的定义:
单调栈就是栈内元素单调递增或者单调递减的栈,单调栈只能在栈顶操作。
为了更好的理解单调栈,则可将单调栈用生活情形模拟实现,例如:
我们借用拿号排队的场景来说明下。现在有很多人在排队买可乐,每个人手里都拿着号,越靠前的人手里的号越小,
但是号不一定是连续的。小明拿了号后并没有去排队,而是跑去约会了。等他回来后,发现队伍已经排得很长了,
他不能直接插入到队伍里,不然人家以为他是来插队的。小明只能跑到队伍最后,挨个询问排队人手里的号,
小明认为号比他大的人都是“插队”的,于是小明就会施魔法把这些人变消失,直到小明找到号比他小的为止。
在上面这个场景里,大家排的队伍就像是单调栈,因为大家手里拿的号是单调递增的。
而小明找自己位置的这个过程就是元素加入单调栈的过程。新加入的元素如果加到栈顶后,
如果栈里的元素不再是单调递增了,那么我们就删除加入前的栈顶元素,
就像小明施魔法把“插队”的人变消失一样。直到新元素加入后,栈依然是单调递增时,我们才把元素加进栈里。
(这样做的目的是“维护”单调栈,是单调栈保持原来的单调性不变)
从数组的角度阐述单调栈的性质:
给定一个包含若干个整数的数组,我们从第 1 个元素开始依次加入单调栈里,并且加入后更新单调栈。
那么单调栈有这样的性质:对于单调递增的栈,如果此时栈顶元素为 b,加入新元素 a 后进行更新时,
如果 a 大于 b,说明 a 在数组里不能再往左扩展了(由于单调栈的单调递增性质,b前面的元素均小于a),
也就是说,如果从 a 在数组中的位置开始往左边遍历,则 a 一定是第一个比 b 大的元素;
如果 a 小于 b,说明在数组里,a 前面至少有一个元素不能扩展到 a 的位置(至少有b元素,因为b的值要大于a,如果此时再加入新的
a,那么单调栈便不再单调,所以元素a此时不能压入栈顶,因为这并不是元素a"应该"在的位置,只有当元素a找到自己的位置时
元素a方能压入栈中,而这样做的前提是不改变单调栈的单调性),也就是对于这些元素来说,a 是其在数组右侧第一个比它小的元素。
单调栈的维护是 O(n) 级的时间复杂度,因为所有元素只会进入栈一次,并且出栈后再也不会进栈了。
单调栈的性质:
1.单调栈里的元素具有单调性
2.元素加入栈前,会在栈顶端把破坏栈单调性的元素都删除
3.使用单调栈可以找到元素向左遍历第一个比他小的元素,也可以找到元素向左遍历第一个比他大的元素。
对于第三条性质的解释(最常用的性质):
对于单调栈的第三条性质,你可能会产生疑问,为什么使用单调栈可以找到元素向左遍历第一个比他大的元素,
而不是最后一个比他大的元素呢?我们可以从单调栈中元素的单调性来解释这个问题,由于单调栈中的元素只能是单调递增或者是单调
递减的,所以我们可以分别讨论这两种情况(假设不存在两个相同的元素):
1.当单调栈中的元素是单调递增的时候,根据上面我们从数组的角度阐述单调栈的性质的叙述,可以得出:
(1).当a > b 时,则将元素a插入栈顶,新的栈顶则为a
(2).当a < b 时,则将从当前栈顶位置向前查找(边查找,栈顶元素边出栈),直到找到第一个比a小的数,停止查找,将元素a
插入栈顶(在当前找到的数之后,即此时元素a找到了自己的“位置”)
2.当单调栈中的元素是单调递减的时候,则有:
(1).当a < b 时,则将元素a插入栈顶,新的栈顶则为a
(2).当a > b 时,则将从当前栈顶位置向前查找(边查找,栈顶元素边出栈),直到找到第一个比a大的数,停止查找,将元素a
插入栈顶(在当前找到的数之后,即此时元素a找到了自己的“位置”)
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