离散数学（数论基础）
整除性 辗转相除
整除及其性质
定义5.1.1 ：设a和b是任意整数，若存在整数c，使得a=bc，则称a是b的倍数，b是a的因数。或者称a被b整除，而b整除a。记为b|a。
注意：
（1）任意整数整除0 ，特别0|0； 0=b·0；(c=0) 0=0·c(c可以是任意整数)，但0不能整除任意非零整数。a=0·c(a≠0)
（2）1和（-1）整除任意整数。 a=1·a；a=(-1)·(-a)
推论：b|a，(b\(\ne\) 0) 当且仅当a被b除（或者a除以b,或者b除a）的余数为0。
整除的基本性质
性质1 若a|b，b|c，则a|c （传递性）
性质2 若a|b，则a|bc （b|bc用传递性证明)
性质3 若a|b，a|c，则a|b\(\pm\)c。
性质4 若a整除b1,…,bn, 则a| \(\mathrm{\lambda}_1\mathrm{b}_1\)+…+ \(\mathrm{\lambda}_n\mathrm{b}_n\)，其中\(\mathrm{\lambda}_{\mathrm{i}}\)为任意整数。
性质5 若在一等式中，除某项外，其余各项都是a的倍数，则此项也是a的倍数
性质6 若a|b，b|a，则b=\(\pm\)a
性质7 设a=qb+c，则a，b的公因数与b，c的公因数是完全相同的
定义5.1.2
若d是a的因数也是b的因数，则称d为a，b的公因数。
若d是a，b的公因数，而a，b的任意公因数整除d，则称d为a，b的最高公因数。a，b的最高公因数通常记为d=(a,b)。
例：8，12有公因数：±1, ±2, ±4, 其中， ±1|4, ±2|4, ±4|4，(注意正负）则4是8和12的最高公因数，记为4=(8, 12)。-4也是
问题：0和0的最高公因数是多少？ 【答】：0
5.1.2 辗转相除
定理5.1.2 ：任意二整数a，b有最高公因数。
定理5.1.3：任意二整数a，b的最高公因数d可以表示为a，b的倍数和，即表为下面的形式：d=sa+tb 其中 s，t都是整数。
辗转相除法求最高公因式：
使用辗转相除法求两个数a，b的最高公因数并表示为它们的倍数和，需要使用的主要公式如下：
互质 质因数分解
整数互质
定义5.2.1 ： 若a，b除±1外无其它公因数，则称a和b互质。
结论：
1、a和b互质，必要而且只要a、b的最高公因数为1(通常只考虑+1)。
2、±1和任意整数(包括0)互质。
定理5.2.1 ：a和b互质，当且仅当1可表示为a和b的倍数和形式，即存在整数s和t使1=sa+tb。
定理5.2.2：若a和b互质，而a|bc，则a|c。
定理5.2.3：若b和a1，a2，…，an都互质，则b和a1a2…an互质。
定理5.2.4：若m1，m2，…，mk两两互质而都整除a，则m1m2…mk|a。
常用结论：\(2^{\mathrm{p}}\)-1和\(2^{\mathrm{q}}\)-1互质的充要条件是p和q互质。
质数与合数 算术基本定理
定义5.2.2：一个正整数，如果不等于1而且除了自己和1没有其它正因数，则称其为一个质数(也称为素数)；否则称其为合数。
这样，正整数分为{1, 质数，合数}
结论：
1、质数p和a互质，必要而且只要p \(\nmid\) a
2、任意两个不同的质数互质
定理5.2.5 ：设p为质数，若p整除a1a2…an，则p整除a1，a2，…，an之一。
定理5.2.6 (算术基本定理)：任意正整数n（n\(\ne\) 1）恰有一法写成质数的乘积（不计因数乘积的顺序）。
推论1： 任意整数(\(\ne\) 0，\(\ne\) ±1)恰好有一法写成下面的形式：±\(\mathrm{p}_1\)…\(\mathrm{p}_k\)，其中\(\mathrm{p}_1\),…,\(\mathrm{p}_k\)都是质数。
推论2： 任意整数(\(\ne\) 0，\(\ne\) ±1)恰好有一法写成下面的形式：±\({\mathrm{p}_1}^{\mathrm{r}_1}\)…\({\mathrm{p}_n}^{\mathrm{r}_n}\)，其中\(\mathrm{p}_1\),…,\(\mathrm{p}_n\)是不同的质数，\(\mathrm{r}_1\),…,\(\mathrm{r}_n\)是正整数。
定理5.2.7：质数无穷多。
合同 一次同余式
合同及其性质
定义. 设a,b为二整数，m是任意非0整数。若 m|a-b，则称a合同于b 模m。记为：a\(\equiv\)b(mod m)
注意：
（1）合同为整除的另一种表示法，故整除的性质在此可用。特别地，若b=0，则a$\equiv$0(mod m)表示的就是m|a。
（2）若m|a，则- m|a。所以，若未指定m而一般地讨论模m合同时，总假定m是正整数。
（3）a\(\equiv\)b(mod m) iff 以m除a和b所得的余数相同
合同的基本性质：
性质1： a\(\equiv\)a。
性质2： 若a\(\equiv\)b,则b\(\equiv\)a。
性质3： 若a\(\equiv\)b，b\(\equiv\)c，则a\(\equiv\)c。
故合同是一种等价关系。
每一个等价类称为模m的一个剩余类。
性质4： 若a\(\equiv\)b(mod m),c\(\equiv\)d(mod m)，则a\(\pm\)c\(\equiv\)b\(\pm\)d(mod m)，ac\(\equiv\)bd(mod m)
性质5： 若a\(\equiv\)b(mod m)，则a\(\pm\)k\(\equiv\)b\(\pm\)k (mod m)。其中k为整数。
性质6： 若a+b\(\equiv\)c(mod m)，则a\(\equiv\)c-b(mod m)。
性质7： 若a\(\equiv\)b(mod m)，则ac\(\equiv\)bc(mod m)。
性质8： 若a\(\equiv\)b(mod m)，则\(\\\mathrm{a}^{\mathrm{n}}\equiv \mathrm{b}^{\mathrm{n}}\)(mod m)， n$\geqslant $0
性质9： 若c\(\ne\) 0而ac\(\equiv\) bc(mod mc)，则a\(\equiv\) b(mod m)。
性质10： 若c和m互质，则由ac\(\equiv\)bc(mod m)可以推出a\(\equiv\)b(mod m)。
性质11： 若ac\(\equiv\)bc(mod m)，且（c, m）=d， 则a\(\equiv\)b(mod m/d)
其实性质9和10是都性质11的特例，因为性质9里(c,m)=d=c，性质10里(c,m)=d=1
结论：若(c,m)=d,则(c/d , m/d)=1
对于质数模p(即模p为质数，如mod 3)，则有与相等完全类似的消去律。
性质12： 若p为质数，c\(\not \equiv\) 0(mod p)，（c,p互质），而ac\(\equiv\) bc(mod p)，则a\(\equiv\) b(mod p)。
性质13： 设p(x)是整系数多项式，x和y是整数变量，则由x\(\equiv\)y(mod m)可得p(x) \(\equiv\)p(y) (mod m)。
剩余类 一次同余式
等价类、剩余类：模m合同既然是一种等价关系，就可以把所有整数按照模 m合同的关系分为等价类，每一个等价类称为模m的一个剩余类。
例如，整数集合Z，模3，得到：
余数为0: {…, -6, -3, 0, 3, 6, …}
余数为1: {…, -5, -2, 1, 4, 7, …}
余数为2: {…, -4, -1, 2, 5, 8, …}
1、同一个剩余类中的数互相合同，不同的剩余类中的数不互相合同。
2、因为以m去除任意整数，可能得到的余数恰有0，1，…，m-1，这m个数，所以模m共有m个剩余类。
3、从模m每个剩余类中任意取出一个数作为代表，得到m个数，比方r1, r2, …,rm，称这m个数作成一个完全剩余系。
例1： 0，1，…，m-1便是这样一个完全剩余系，称为模m 的非负最小完全剩余系。
任意整数模m恰好合同于此完全剩余系中的一个数。
例2： 模3，三个数0，1，2作成一个完全剩余系，-1，0，1也作成一个完全剩余系。
例3： 模2，两个数0，1作成一个完全剩余系，0代表所有偶数，1代表所有奇数.
同余式：含有整数变量的合同式，称为合同方程或同余式 。
ax\(\equiv\)b(mod m)这种形式的合同式称为一次同余式；类似地，\(\mathrm{a}_2\mathrm{x}^2+\mathrm{a}_1\mathrm{x}\equiv \mathrm{b}\left( \mathrm{mod} \mathrm{m} \right)\)称为二次同余式。
一次同余式解的个数：
1、若a和m互质，b任意，则模m恰有一个数x使ax\(\equiv\) b(mod m) 。
推论：设p为质数。若a\(\not \equiv\) 0 (mod p)，b任意，则模p恰有一个数x使ax\(\equiv\) b(mod p)。
2、若(a, m)=d>1 ，且d|b，则同余式ax\(\equiv\) b(mod m)有d个解
求解一次合同方程的方法 ：
方法一：先使用辗转相除方法将互质的a与m的最大公因数1表示为a和m的倍数和的形式：1=as+mt，然后取x=sb，即可。
注意：\(\mathrm{s}=(-1)^k\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\)
方法二 ：就是利用合同的性质，使x的系数变成1，即得到解。
定理5.3.2：若(a, m)=d>1，且d\(\nmid\)b，则同余式ax\(\equiv\) b (mod m)无解。
本定理可以作为同余式无解的判定定理.
定理5.3.3：若(a, m)=d>1 ，且d|b，则同余式ax\(\equiv\)b(mod m)有d个解，分别为 \(\mathrm{\alpha}\), \(\mathrm{\alpha}\)+m/d, \(\mathrm{\alpha}\)+2m/d, …, \(\mathrm{\alpha}\)+(d-1)m/d ……
其中\(\mathrm{\alpha}\)是同余式(a/d)x\(\equiv\)b/d (mod m/d)的解。
秦九韶定理 Euler函数
一次同余式组 秦九韶定理
定理5.4.1 设[m1,m2]为m1，m2的最低公倍数。则同余式组
x\(\equiv\)a1 (mod m1)
x\(\equiv\)a2 (mod m2) ……………..(1)
在mod[m1,m2]下有唯一解的充要条件为
(m1,m2)|(a1-a2) ……………………….(2)
Note：当此定理中的(m1,m2)=1这种特殊情况时，则（1）有关于模m1m2唯一解。推广此特殊情形即得到中国剩余定理，也称为孙子定理。后经过秦九韶整理和解法的推广，我们这里称之为秦九韶定理。
秦九韶定理 ：设m1, m2 , …, mk两两互质。a1, a2, …, ak为k个整数，则下列同余式组有解，且在模m1 m2 …mk下解唯一：
习题：
Euler函数
结论：设n是任意正整数， A 为mod n的任意剩余类，a\(\in\)A。若a和n互质，则A中任意数和n互质。
若A中有一个数和n互质，则其中所有的数都和n互质。故A 中的数或者都和n互质，或者都和n不互质。
**例. ** mod 6
2，8，16 ，…,与6都不互质。
5，11，17，…,与6都互质。
定义：设A 为mod n的一个剩余类，若对a\(\in\)A，a与n互质，则称剩余类A与n互质。
Euler函数 ：
定义： 和n互质的剩余类的个数称为Euler(欧拉)函数,记为\(\mathrm{\varphi}\)(n)。
定义 ：从和n互质的每一个剩余类中取出一个数，这样得到的\(\mathrm{\varphi}\)(n)个数称之为作成mod n的一个简化剩余系。
显然，从mod n的一个非负最小完全剩余系中取出与n互质的那些数,就得到mod n的一个简化剩余系，因而\(\mathrm{\varphi}\)(n)等于\(\leqslant\)n的正数中和n互质的数的个数。
例 n=10，则mod n的一个完全剩余系为0，1，…，9，一个简化剩余系为1，3，7，9，\(\mathrm{\varphi}\)(10)=4。
例 n=12，则mod n的一个完全剩余系为0，1，…，11，一个简化剩余系为1，5，7，11，\(\mathrm{\varphi}\)(12)=4。
定理5.4.5 ：设m=m1…mk，而m1, …, mk两两互质。则\(\mathrm{\varphi}\)(m)= \(\mathrm{\varphi}\)(m1)\(\mathrm{\varphi}\)(m2) …\(\mathrm{\varphi}\)(mk)
例. \(\mathrm{\varphi}\)(2646)= \(\mathrm{\varphi}\)(2×27×49)
= \(\mathrm{\varphi}\)(2) ×\(\mathrm{\varphi}\)(27)×\(\mathrm{\varphi}\)(49)
定理5.4.6 ：\( \text{设n}={\mathrm{p}_1}^{\mathrm{r}_1}{\mathrm{…p}_{\mathrm{k}}}^{\mathrm{r}_{\mathrm{k}}}\text{是n的质因数分解式，p}_1\mathrm{…p}_{\mathrm{k}}\text{都不相同，于是} \\ \mathrm{\varphi}\left( \mathrm{n} \right) =\mathrm{n}\left( 1-\frac{1}{\mathrm{p}_1} \right) \mathrm{…}\left( 1-\frac{1}{\mathrm{p}_{\mathrm{k}}} \right)\)
\(\text{例} \mathrm{\varphi (}2646)=\mathrm{\varphi (}2×3^3×7^2)=2646×(1-1/2)(1-1/3)(1-1/7)=756\)
定理5.4.7(Fermat-Euler定理,Euler1760年提出) ：若a和n互质，则\(\mathrm{a}^{\mathrm{\varphi}\left( \mathrm{n} \right)}\equiv 1\)(mod n)
\(\text{例}：a=3,n=10,3与10互质,\mathrm{\varphi (}10)=4,则3^4\equiv 1(mod10) \\ a=5,n=12,5与12互质,\mathrm{\varphi (}12)=4,则5^4\equiv 1(mod12)\)
推论1 (Fermat小定理Ⅰ)
若p是质数而p \(\nmid\) a，则\(\mathrm{a}^{\mathrm{p}-1}\equiv 1\)(mod p)。
推论2（Fermat小定理Ⅱ）
若p为质数，则对任意整数a,都有\(\mathrm{a}^{\mathrm{p}}\equiv a\)(mod p)。
例:p=3, a=2, \(2^{3-1}\equiv 1\left( \mathrm{mod} 3 \right)\) \(2^{3}\equiv 2\left( \mathrm{mod} 3 \right)\)
例题：
第九次作业
1、用辗转相除法求1046和2683的最高公因数并表示为它们的倍数和。
2683/1046=2……591
1046/591=1……455
591/455=1……136
455/136=3……47
136/47=2……42
47/42=1……5
42/5=8……2
5/2=2……1
2/1=2……0
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{r}_{\mathrm{k}}\) | 591 | 455 | 136 | 47 | 42 | 5 | 2 | 1 | 0 | |
| \(\mathrm{q}_{\mathrm{k}}\) | 2 | 1 | 1 | 3 | 2 | 1 | 8 | 2 | 2 | |
| \(\mathrm{S}_{\mathrm{k}}\) | 0 | 1 | 1 | 2 | 7 | 16 | 23 | 200 | 423 | |
| \(\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 18 | 41 | 59 | 513 | 1085 |
最高公因数：\(1=\left( -1 \right) ^{8-1}\times 423\times 2683+\left( -1 \right) ^8\times 1085\times 1046\) （注意n是最后一个非零余项的n）
公式：
2、判断题：0和1 是互质的。（对）
【解】±1和任意整数(包括0)互质。
3、判断题：0和100的最高公因数是±100。（ 对 ）
第十次作业
判定同余式206x\(\equiv\) 114(mod 422)是否有解，如果存在请给出解。
【解】(206,114)=2且2|114故有两个解
法一：
先求103\(\equiv\) 57(mod 211)的解
211=103*2+5
故206x\(\equiv\) 114(mod 211) 又因为211x\(\equiv\) 0(mod 211)
5x\(\equiv\) -114(mod 211)
5x\(\equiv\) 97(mod 211)
因为211=42*5+1
故210x\(\equiv\) 12936(mod 211)
211x\(\equiv\) 0(mod 211)
x\(\equiv\) -12936(mod 211)
x\(\equiv\) 146(mod 211)
故x\(\equiv\) 146(mod 422) x\(\equiv\) 357(mod 422)
法二：
先求103$\equiv$57(mod 211)的解
211=103*2+5
103=20*5+3
5=3*1+2
3=2*1+1
2=1*2+0
| k | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathrm{r}_{\mathrm{k}}\) | 5 | 3 | 2 | 1 | 0 | |
| \(\mathrm{q}_{\mathrm{k}}\) | 2 | 20 | 1 | 1 | 2 | |
| \(\mathrm{S}_{\mathrm{k}}\) | 0 | 1 | 20 | 21 | 41 | |
| \(\mathrm{T}_{\mathrm{k}}\) | 1 | 2 | 41 | 43 | 84 |
最高公因式：\(1=\left( -1 \right) ^3\times 41\times 211+\left( -1 \right) ^4\times 84\times 103\)
由此知：\(\mathrm{S}=\left( -1 \right) ^4\times 84=84\)
\(x=Sb=84\times57=4788=211\times 23-65\equiv -65\left( \mathrm{mod } 211 \right) \equiv 146\left( \mathrm{mod } 211 \right)\)
归正以后得x\(\equiv\) 146(mod 422) x\(\equiv\) 357(mod 422)
往期回顾
离散数学（集合论）
离散数学（古典数理逻辑）
离散数学（图与网络）
离散数学（数论基础）
离散数学（格与布尔代数）
离散数学（群、环、域）
