离散数学（集合论）

集合的基本概念

集合的元素

属于$\in$

空集$\varnothing$ 全集

有限集 、无限集

集合的元素数（基数）：特别的：| $\varnothing$ |=0，|{$\varnothing$}|=1

集合的特征：确定性、互异性、无序性、多样性

集合相等：两个集合A和B的元素完全一样

子集(subset) ：设A，B是两个集合，若A的元素都是B的元素，则称A是B的子集，也称B包含A，或A包含于B记以A $\subseteq$B

若A$\subseteq$B，且A$\ne$B，则称A是B的真子集(proper subset)，也称B真包含A，或A真包含于B，记以A$\subset$B

集合的运算及性质：

并集(Union)：

交集(Intersection)：

差集(Difference)：

余集(Complement)：

环和（对称差）：

环积：

集合的算律：

集合的证明题：

集合的幂与笛卡尔积：

幂集的性质：

1. 

2.

3.

有序n元组(ordered n-tuple)：(a1,a2 ,… ,an)

有序对(ordered pairs)：当n=2 时，将其称作有序对，也称作序偶，或有序二元组

有序对特点：

1. 若a$\ne$b,则（a，b）$\ne$（b，a）
2. 两个有序对(a,b)和(c,d)相等当且仅当a=c，b=d

笛卡儿积(Cartesian product)：

笛卡儿积的性质：

1. |A$\times$B|=|A| $\times$|B|；

2. 对任意集合A，有A$\times$$\varnothing$=$\varnothing$，$\varnothing$$\times$A=$\varnothing$；

3. 笛卡儿积运算不满足交换律，即A$\times$B$\ne$B$\times$A；

4. 笛卡儿积运算不满足结合律，即(A$\times$B)$\times$C$\ne$A$\times$(B$\times$C)

5. 笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律

   

6. 设A，B，C，D是集合，若A$\subseteq$C且B$\subseteq$D，则A$\times$B $\subseteq$ C$\times$D。

证明集合的包含关系的常用方法：

1. 利用定义：首先任取x$\in$A，再演绎地证出x$\in$B成立
2. 设法找到一个集合T,满足A$\subseteq$T且T$\subseteq$B,由包含关系的传递性有A$\subseteq$B.
3. 利用A$\subseteq$B的等价定义,即A$\cup$B=B,A$\cap$B=A或A-B=$\varnothing$来证.
4. 利用已知包含式的并、交等运算得到新的包含式
5. 反证法

证明集合相等的常用方法：

1. 若A，B 是有限集，证明A=B可通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等，若A，B 是无限集，通过证明集合包含关系的方法证A $\subseteq$ B，B $\subseteq$ A即可

2. 反证法

3. 利用集合的基本算律以及已证明的集合等式，通过相等变换将待证明的等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一集合

   

关系

非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；

空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。

关系的定义：xRy

关系的特点：

1. A$\times$A的任一子集都是A上的一个关系

2. 若|A|=n，则A上的关系有$2^{\mathrm{n}^2}$个

3. A上有三个特殊关系，即

   空关系$\varnothing$；

   全域关系EA=A$\times$A；

   相等关系IA={(x,x)|x$\in$A}

关系的表示：

1. 集合表示：

   设A={1,2,3,4}， A上的关系R=

2. 关系矩阵

   

3. 关系图：

   

关系作为集合的运算：

1. 关系的交：R ∩ S={(x,y)|x$\in$A, y$\in$A,xRy且xSy}
2. 关系的并：R∪ S={(x,y)| x$\in$A, y$\in$A ,xRy或xSy}
3. 关系的差：R - S={(x,y)| x$\in$A, y$\in$A ,xRy并且xS/y}

逆关系：$\mathrm{R}^{-1}$ ={(y, x)|x$\in$A, y$\in$A, 并且有xRy}

关系的乘积：称关系R•S为关系R和S的乘积或合成

关系的乘法的结论：

1. 关系的乘法不满足交换律
2. 关系的乘法满足结合律

关系的幂

定理1.2.1 ：

1. $\mathrm{R}^{\mathrm{m}}\cdot \mathrm{R}^{\mathrm{n}}=\mathrm{R}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}$
2. $\left( \mathrm{R}^{\mathrm{m}} \right) ^{\mathrm{n}}=\mathrm{R}^{\mathrm{mn}}$

定理1.2.3：

几种特殊关系及特点：

1. 自反关系：

   

2. 反自反关系

   

3. 对称关系

   

4. 反对称关系

   

5. 传递关系

   

   定理1.2.4 ：集合A上的关系R具有传递性的充要条件是$\mathrm{R}^2\subseteq \mathrm{R}$

常用结论：

集合A上的关系是对称的，反对称的，试指明关系R的结构——$\mathrm{I}_{\mathrm{A}}$的任意子集

集合A有n个元素，则A上有多少个即具有对称性又具有反对称性的关系？ $2^{\mathrm{n}}$（取对角线元素）

关系的性质总结：

关系的闭包：R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记为r(R)，s(R)，t(R) ，也称r， s，t为闭包运算，它们作用于关系R后，产生包含R的最小的自反、对称、传递的关系。

等价关系：如果R具有自反性，对称性，传递性，则称R是一个等价关系

等价类

定理1.2.7：

划分：

商集：设R是非空集合A上的等价关系，以R的所有不同等价类为元素作成的集合称为A关于R的商集，简称A的商集，记作A/R

等价关系=>商集：

商集=>等价关系：

定理1.2.8 ：设A为一个非空集合。

(1)设R为A上的任意一个等价关系，则对应R的商集A/R为A的一个划分。

(2)设C为A的任一个划分，令$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$={(x,y)|x, y$\in$A并且x, y属于C的同一划分块}， 则$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$为A上的等价关系

第二类Stirling数 ：

将n个不同的球放入r个相同的盒中去，并且要求无空盒，有多少种不同的放法？这里要求n$\geqslant$r。

不同的放球方法数即为将n元集合A分为r块的不同的划分数。

（1）特值：

（2）递推公式：

加细：设C和C'都是集合A的划分，若C的每个划分块都包含于C'的某个划分块中，则称C是 C '的加细。

C是C'的加细当且仅当$\mathrm{R}_{\mathrm{c}}$$\subseteq$$\mathrm{R}_{\mathrm{c'}}$

综合例题：

偏序关系：

自反性，反对称性，传递性

偏序集(半序集、部分序集)。记作(A，R)

写做“≤”

哈斯图：

链：

对任意x, y$\in$A，如果x≤y，或y≤x，称x与y可比

一个部分序集的子集，其中任意两个元素都可比，称该子集为一条链

全序集：一个部分序集(A, ≤)说是一个全序集，如果(A, ≤)本身是一条链

拟序关系：

反自反性，反对称，传递性

最大(最小)元　极大(极小)元 ：只从给定集合里找

上(下)界，上(下)确界：从全体里找

上(下)确界：找所有上(下)界里距离所求集合最近的上(下)界。

上下界未必存在，存在时又未必唯一.

即使有上下界时，最小上界和最大下界也未必存在。

映 射

映射：设A，B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B的一个确定元素b与之对应，则称此对应为由A到B内的一个映射

将此映射记为$\mathrm{\sigma}$，于是对任意a$\in$A，若$\mathrm{\sigma}$(a)= b，则b表示B中与a对应之元素，b称为a的映像(image)，a称为b的原像(pre-image)

满射：设$\mathrm{\sigma}$是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是A中某元素的映像，就称$\mathrm{\sigma}$是A到B上的映射（满射）

白话：B中所有元素都被箭头指向。

特别，A到A上的映射，称为变换

单射：设$\mathrm{\sigma}$是A到B内的映射，如果对任意a$\in$A，b$\in$A且a$\ne$b，都有$\mathrm{\sigma}$(a) $\ne$$\mathrm{\sigma}$(b)，就称$\mathrm{\sigma}$是A到B的单射

白话：B中的元素最多只能有一个箭头指向。

注意：单射未必满射；满射未必单射

1-1映射（双射）：既满射，又单射。

逆映射

映射的乘积：$\mathrm{\sigma}\cdot \mathrm{\tau}=\mathrm{\tau}*\mathrm{\sigma}$（运算顺序相反）

集合的基数 ：有限集合的元素数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|

1-1映射，则称A与B基数相同，也称A与B对等（等势，等浓），记为|A|=|B|

把自然数集合的基数记为$\aleph _0$（读作阿列夫零），于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=$\aleph _0$

若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A|$\leqslant$|B|；若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A|<|B|

可数集合：

一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在一个1-1映射，则称此集合为可数集合。否则称该集合为不可数集合。元素个数不是有限的可数集合称为可数无穷集合。

定理1.3.2：可数集合的子集仍为可数集合。
定理1.3.3： 设A，B是可数集合，A∩B= $\varnothing$ ，则A∪B是可数集合

定理1.3.4：设A，B是可数无穷集合，则A$\times$B是可数集合。

常用结论：

有理数集合Q是可数集合

整数的集合Z是可数无穷集

可数无穷多个可数集合的并集是可数集合。

不可数集合：

定理1.3.5 ：全体实数做成的集合是不可数集合

推论：实数集合R，区间(a,+$\infty$)、[a,b]、[a,b)、(a,b]，其中a≠b，都是不可数的，且与区间(0,1)等浓。

把(0,1)区间内的实数集合的基数记为c，也记为$\aleph _1$。即c= $\aleph _1$

可数(无穷多)个基数为c的集合的并集基数仍为c

往期回顾

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