离散数学（集合论）
集合的基本概念
集合的元素
属于\(\in\)
空集\(\varnothing\) 全集
有限集 、无限集
集合的元素数（基数）：特别的：| \(\varnothing\) |=0，|{\(\varnothing\)}|=1
集合的特征：确定性、互异性、无序性、多样性
集合相等：两个集合A和B的元素完全一样
子集(subset) ：设A，B是两个集合，若A的元素都是B的元素，则称A是B的子集，也称B包含A，或A包含于B记以A \(\subseteq\)B
若A\(\subseteq\)B，且A\(\ne\)B，则称A是B的真子集(proper subset)，也称B真包含A，或A真包含于B，记以A\(\subset\)B
集合的运算及性质：
并集(Union)：
交集(Intersection)：
差集(Difference)：
余集(Complement)：
环和（对称差）：
环积：
集合的算律：
集合的证明题：
集合的幂与笛卡尔积：
幂集的性质：
2.
3.
有序n元组(ordered n-tuple)：(a1,a2 ,… ,an)
有序对(ordered pairs)：当n=2 时，将其称作有序对，也称作序偶，或有序二元组
有序对特点：
- 若a\(\ne\)b,则（a，b）\(\ne\)（b，a）
- 两个有序对(a,b)和(c,d)相等当且仅当a=c，b=d
笛卡儿积(Cartesian product)：
笛卡儿积的性质：
-
|A\(\times\)B|=|A| \(\times\)|B|；
-
对任意集合A，有A\(\times\)\(\varnothing\)=\(\varnothing\)，\(\varnothing\)\(\times\)A=\(\varnothing\)；
-
笛卡儿积运算不满足交换律，即A\(\times\)B\(\ne\)B\(\times\)A；
-
笛卡儿积运算不满足结合律，即(A\(\times\)B)\(\times\)C\(\ne\)A\(\times\)(B\(\times\)C)
-
笛卡儿积运算对并和交运算满足分配律
-
设A，B，C，D是集合，若A\(\subseteq\)C且B\(\subseteq\)D，则A\(\times\)B \(\subseteq\) C\(\times\)D。
证明集合的包含关系的常用方法：
- 利用定义：首先任取x\(\in\)A，再演绎地证出x\(\in\)B成立
- 设法找到一个集合T,满足A\(\subseteq\)T且T\(\subseteq\)B,由包含关系的传递性有A\(\subseteq\)B.
- 利用A\(\subseteq\)B的等价定义,即A\(\cup\)B=B,A\(\cap\)B=A或A-B=\(\varnothing\)来证.
- 利用已知包含式的并、交等运算得到新的包含式
- 反证法
证明集合相等的常用方法：
-
若A，B 是有限集，证明A=B可通过逐一比较两集合所有元素均一一对应相等，若A，B 是无限集，通过证明集合包含关系的方法证A \(\subseteq\) B，B \(\subseteq\) A即可
-
反证法
-
利用集合的基本算律以及已证明的集合等式，通过相等变换将待证明的等式左（右）边的集合化到右（左）边的集合，或者两边同时相等变换到同一集合
关系
非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；
空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。
关系的定义：xRy
关系的特点：
-
A\(\times\)A的任一子集都是A上的一个关系
-
若|A|=n，则A上的关系有\(2^{\mathrm{n}^2}\)个
-
A上有三个特殊关系，即
空关系\(\varnothing\)；
全域关系EA=A\(\times\)A；
相等关系IA={(x,x)|x\(\in\)A}
关系的表示：
-
集合表示：
设A={1,2,3,4}， A上的关系R=
-
关系矩阵
-
关系图：
关系作为集合的运算：
- 关系的交：R ∩ S={(x,y)|x\(\in\)A, y\(\in\)A,xRy且xSy}
- 关系的并：R∪ S={(x,y)| x\(\in\)A, y\(\in\)A ,xRy或xSy}
- 关系的差：R - S={(x,y)| x\(\in\)A, y\(\in\)A ,xRy并且xS/y}
逆关系：\(\mathrm{R}^{-1}\) ={(y, x)|x\(\in\)A, y\(\in\)A, 并且有xRy}
关系的乘积：称关系R•S为关系R和S的乘积或合成
关系的乘法的结论：
- 关系的乘法不满足交换律
- 关系的乘法满足结合律
关系的幂
定理1.2.1 ：
- \(\mathrm{R}^{\mathrm{m}}\cdot \mathrm{R}^{\mathrm{n}}=\mathrm{R}^{\mathrm{m}+\mathrm{n}}\)
- \(\left( \mathrm{R}^{\mathrm{m}} \right) ^{\mathrm{n}}=\mathrm{R}^{\mathrm{mn}}\)
定理1.2.3：
几种特殊关系及特点：
-
自反关系：
-
反自反关系
-
对称关系
-
反对称关系
-
传递关系
定理1.2.4 ：集合A上的关系R具有传递性的充要条件是\(\mathrm{R}^2\subseteq \mathrm{R}\)
常用结论：
集合A上的关系是对称的，反对称的，试指明关系R的结构——\(\mathrm{I}_{\mathrm{A}}\)的任意子集
集合A有n个元素，则A上有多少个即具有对称性又具有反对称性的关系？ \(2^{\mathrm{n}}\)（取对角线元素）
关系的性质总结：
关系的闭包：R 的自反闭包、对称闭包和传递闭包分别记为r(R)，s(R)，t(R) ，也称r， s，t为闭包运算，它们作用于关系R后，产生包含R的最小的自反、对称、传递的关系。
等价关系：如果R具有自反性，对称性，传递性，则称R是一个等价关系
等价类
定理1.2.7：
划分：
商集：设R是非空集合A上的等价关系，以R的所有不同等价类为元素作成的集合称为A关于R的商集，简称A的商集，记作A/R
等价关系=>商集：
商集=>等价关系：
定理1.2.8 ：设A为一个非空集合。
(1)设R为A上的任意一个等价关系，则对应R的商集A/R为A的一个划分。
(2)设C为A的任一个划分，令\(\mathrm{R}_{\mathrm{c}}\)={(x,y)|x, y\(\in\)A并且x, y属于C的同一划分块}， 则\(\mathrm{R}_{\mathrm{c}}\)为A上的等价关系
第二类Stirling数 ：
将n个不同的球放入r个相同的盒中去，并且要求无空盒，有多少种不同的放法？这里要求n\(\geqslant\)r。
不同的放球方法数即为将n元集合A分为r块的不同的划分数。
（1）特值：
（2）递推公式：
加细：设C和C'都是集合A的划分，若C的每个划分块都包含于C'的某个划分块中，则称C是 C '的加细。
C是C'的加细当且仅当\(\mathrm{R}_{\mathrm{c}}\)$\subseteq $$\mathrm{R}_{\mathrm{c'}}$
综合例题：
偏序关系：
自反性，反对称性，传递性
偏序集(半序集、部分序集)。记作(A，R)
写做“≤”
哈斯图：
链：
对任意x, y\(\in\)A，如果x≤y，或y≤x，称x与y可比
一个部分序集的子集，其中任意两个元素都可比，称该子集为一条链
全序集：一个部分序集(A, ≤)说是一个全序集，如果(A, ≤)本身是一条链
拟序关系：
反自反性，反对称，传递性
最大(最小)元 极大(极小)元 ：只从给定集合里找
上(下)界，上(下)确界：从全体里找
上(下)确界：找所有上(下)界里距离所求集合最近的上(下)界。
上下界未必存在，存在时又未必唯一.
即使有上下界时，最小上界和最大下界也未必存在。
映 射
映射：设A，B是两个集合，若对A的每个元素a，规定了B的一个确定元素b与之对应，则称此对应为由A到B内的一个映射
将此映射记为\(\mathrm{\sigma}\)，于是对任意a\(\in\)A，若\(\mathrm{\sigma}\)(a)= b，则b表示B中与a对应之元素，b称为a的映像(image)，a称为b的原像(pre-image)
满射：设\(\mathrm{\sigma}\)是A到B内的映射，如果B中每一个元素都一定是A中某元素的映像，就称\(\mathrm{\sigma}\)是A到B上的映射（满射）
白话：B中所有元素都被箭头指向。
特别，A到A上的映射，称为变换
单射：设\(\mathrm{\sigma}\)是A到B内的映射，如果对任意a\(\in\)A，b\(\in\)A且a\(\ne\)b，都有\(\mathrm{\sigma}\)(a) \(\ne\)\(\mathrm{\sigma}\)(b)，就称\(\mathrm{\sigma}\)是A到B的单射
白话：B中的元素最多只能有一个箭头指向。
注意：单射未必满射；满射未必单射
1-1映射（双射）：既满射，又单射。
逆映射
映射的乘积：\(\mathrm{\sigma}\cdot \mathrm{\tau}=\mathrm{\tau}*\mathrm{\sigma}\)（运算顺序相反）
集合的基数 ：有限集合的元素数(势，浓度)。集合A的基数记为|A|
1-1映射，则称A与B基数相同，也称A与B对等（等势，等浓），记为|A|=|B|
把自然数集合的基数记为\(\aleph _0\)（读作阿列夫零），于是凡是与自然数集合对等的集合A，其基数|A|=\(\aleph _0\)
若A与B的某一子集有1-1对应关系，则|A|\(\leqslant\)|B|；若A与B的某一子集有1-1对应关系，且A与B不存在1-1对应关系，则|A|<|B|
可数集合：
一个集合，如果它的元素为有限个，或者它与自然数集合之间存在一个1-1映射，则称此集合为可数集合。否则称该集合为不可数集合。元素个数不是有限的可数集合称为可数无穷集合。
定理1.3.2：可数集合的子集仍为可数集合。
定理1.3.3： 设A，B是可数集合，A∩B= \(\varnothing\) ，则A∪B是可数集合
定理1.3.4：设A，B是可数无穷集合，则A\(\times\)B是可数集合。
常用结论：
有理数集合Q是可数集合
整数的集合Z是可数无穷集
可数无穷多个可数集合的并集是可数集合。
不可数集合：
定理1.3.5 ：全体实数做成的集合是不可数集合
推论：实数集合R，区间(a,+\(\infty\))、[a,b]、[a,b)、(a,b]，其中a≠b，都是不可数的，且与区间(0,1)等浓。
把(0,1)区间内的实数集合的基数记为c，也记为\(\aleph _1\)。即c= \(\aleph _1\)
可数(无穷多)个基数为c的集合的并集基数仍为c
往期回顾
离散数学（集合论）
离散数学（古典数理逻辑）
离散数学（图与网络）
离散数学（数论基础）
离散数学（格与布尔代数）
离散数学（群、环、域）
