清北学堂2019.8.6

Day 1 赵和旭

前面他讲了一堆，啥也不知道（他没开广播硬讲。。。）

bzoj4247: 挂饰（洛谷 P4138）

按a排序

dp：dp[i][j]表示前i个挂饰，剩余j个挂钩的最大喜悦值

枚举下一个挂钩是否挂

dp[i][0]无法转移

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][max(j-a[i],0)+1]+v[i])

洛谷P1233 木棍加工（洛谷 P1233）

按w从大到小排序，w相同的l从大到小排序，我们对于1分钟能处理的一串棍子实际上就是一个l的不上升子序列，我们这里是求一个不上升子序列覆盖数。
不上升子序列覆盖数=最长上升子序列长度。
(严格证明参考：dilworth定理)
所以其实就是求一个最长上升子序列即可。

LIS 加强版

方法一：

h[k] 表示长度为k的子序列末尾值的最小值

那么h序列是单调递增的

二分求h数组

LIS 分析性质

状态转移：dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ;

我们观察一下这个dp式子的转移,他到底是在做一个什么操作。

我们是找比a[i]小的a[j]里面,dp[j]的最大值。

从这个角度不是很好优化，我们考虑另外一个思路,我们找最大的k，满足存在dp[j]==k&&a[j]<a[i]。

我们设h[k]表示dp[j]==k的所有j当中的最小的a[j]，就是说长度为k的最长上升序列，最后一个元素的最小值是多少，因为最后一个元素越小，肯定后面更容易再加上一个元素了。

然后我们发现了个奇妙的性质。

而h[k]，肯定是单调不下降的，就是说“长度为k的最长上升序列最后一个元素的最小值”一定是小于“长度为k+1的最长上升序列最后一个元素的最小值”，如果不是的话，我们可以用后者所在上升子序列构造出一个更小的前者。

然后这个样子我们对于一个a[i]就可以找到,最大的k，满足h[k]是小于a[i]的，然后f[i]=k+1。找的过程是可以二分加速的。

然后同时在维护出h数组即可。

方法二：

数据结构不需要什么灵巧的闪光就是套路。

状态转移：dp[i]=max{ dp[j] | a[j]<a[i] && j<i } +1 ;

我们把a[j]看成坐标，dp[j]看成权值，这就是每次求坐标小于等于某个值的权值最大值，然后每算完一个单点修改即可。

树状数组即可。

最长公共子序列

我们设dp[i][j]表示，S串的第i个前缀和T串的第j个前缀的最长公共子序列。
分情况：
如果S[i]==T[j]，dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
如果S[i]!=T[j]，dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
最后答案就是dp[n][m]
最长公共上升子序列LCIS——分析性质优化状态转移

我们设dp[i][j]表示A前i个位置和B前j个位置所能产生的最长公共上升子序列的长度。其中强制A[i]==B[j]，也就是最后这个位置是匹配的。若是A[i]!=B[j]则对应函数值为0。
我们从1到n枚举i计算dp值，在枚举i的过程中维护
f[k]=max{dp[1…(i-1)][k]}
然后dp[i][j]=max{f[k] | k<j && B[k]<A[i]}，如果我们再从小到大枚举j的话只要边枚举j边记录满足条件的f[k]最大值即可。
总复杂度O(n*m)

Code:

for (int i=1;i<=n;i++)
{
    int tmp=0;
    for (int j=1;j<=m;j++)
        if (a[i]==b[j])
        {
            dp[i][j]=tmp+1;
            f[j]=max(f[j],tmp+1);
        }
        else if (a[i]>b[i])
            tmp=max(tmp,f[j]);
}

Bzoj5124波浪序列

和LCIS完全一样的解法啊。
设f[i][j][0/1]表示第一个序列前i和第二个序列前j个位置，最后一个位置是上升还是下降，转移和之前一样，记录一个辅助数组即可。
注意这里是记方案数。

容斥原理（小学奥数( ′◔ ‸◔`)）：

Bzoj3782 简化版（网格路径计数强化版）

这道题就可以用容斥来做。

第一种容斥

随意填-至少遇到一个障碍的方案数+至少遇到两个障碍的方案数-至少遇见三个障碍的方案数……

给障碍点从左到右从下到上排个序,记f[i][j]表示走到了第i个障碍点且包括第i个点在内强制经过了j个障碍点的路径条数(除此之外也可能有经过的),枚举上一个经过的障碍点即可。

转移的时候乘上一个组合数表示从k到i的走法数目

第二种容斥

枚举第一个遇到的障碍是哪一个来容斥。

实际上这是由下面这个推出来的。

记忆化搜索

1：一般递推式动态规划还要注意枚举状态的顺序，要保证算当前状态时子状态都已经算完了。

2：但是记忆化搜索不需要，因为记忆化搜索就是个搜索，只不过把重复的部分记下来了而已。我们不用像递推一样过于关注顺序，像搜索一样直接要求什么，调用什么就好。

在有一些dp问题中，状态之间的转移顺序不是那么确定，并不能像一些简单问题一样写几个for循环就解决了。

我们可以直接计算最终要求的状态，然后在求这个状态的过程中，要调用哪个子状态就直接调用即可，但是每一个状态调用一遍之后就存下来答案，下次计算的时候就直接取答案即可，就不需要从新再计算一遍。

虽然看上去每一次都计算不少，但是因为每一个状态都计算一次，所以均摊下来，复杂度还是状态数*状态转移。

上题中

我们从另一个角度来思考这个问题。
我们用搜索算法来计算答案，先看看没有障碍的情况，有障碍只改一点。

int dfs(int x,int y)
{
    if (x==n&&y==m) return 1;
    int ans=0;
    if (x<n) ans+=dfs(x+1,y);
    if (y<m) ans+=dfs(x,y+1);
    return ans;
}

然而搜索的时间复杂度是指数级的。

我们发现在这个dfs的过程中，dfs出来的值只与带入参数，也就是(x,y)有关，而不同的(x,y)有N*M个，而我们之前搜索的问题在于有大量的重复计算，多次调用同一个(x,y)，每次都从新计算。
有一个很直观的想法就是，第一次调用的时候就把答案记下来，之后调用不重新算，直接返回之前已经计算出的答案即可。——这就是记忆化搜索。
这是有障碍的情况，mp[x][y]==-1表示有障碍。

int dfs(int x,int y)
{
    if (mp[x][y]==-1) return 0;
    if (x==n&&y==m) return 1;
    if (dp[x][y]!=-1) return dp[x][y];
    int ans=0;
    if (x<n) ans+=dfs(x+1,y);
    if (y<m) ans+=dfs(x,y+1);
    return ans;
}

Bzoj 3810: [Coci2015]Stanovi

考虑分割成两个矩形，对于任意一种分割方案都一定存在一条贯穿横向或者纵向的线，那么枚举这条线即可。
然后设f[x][y][t]表示长为x宽为y，面向大海的边状态是t，最小的不满意度。转移就枚举从那个地方断开即可。

主程序如下：

拓扑图的DP

BZOJ4562 食物链（洛谷 P3183）

设f[u]为以节点u为终点的食物链数量。

按照拓扑序的顺序转移即可。
上面的式子是求一个点时，枚举其所有入边转移，具体写代码的时候，我们一般就只记出边再记录一个入边太麻烦了。所以我们一般不枚举入边，而是枚举出边从每个点往后更新，也就是在上面的式子中，我们对于每个v向后进行更新，枚举v出边指向的所有u点，然后f[u]+=f[v]。

for(int i=1;i<=n;i++)
    if(!rd[i])
    {
        if(cd[i]) f[i]=1;
        q.push(i);
    }
while(!q.empty())
{
    int x=q.front();
    q.pop();
    for(int i=head[x];i;i=next[i])
    {
        f[to[i]]+=f[x];
　　　　 ed[to[i]]--;
        if(!rd[to[i]]) q.push(to[i]);
    }
}
for(int i=1;i<=n;i++)    if(!cd[i]) ans+=f[i];

经典题

int dfs(u)
{
    if(u==T) return 1;
    if(f[u]!=-1) return f[u];
    f[u]=0;
    for(int i=hd[u];i;i=pr[i])
    {
        dfs(to[i]);
        f[u]=((long long)f[to[i]]*cnt+f[u])%mod;
    }
    return f[u];
}

（记忆化搜索的代码相对好写，但会很大的增加时间）

序列上的dp

bzoj1003

其实就是分成很多段，每一段选同一个运输路线，然后得到一个最优的划分方案，使得成本最小。

f[i]表示前i天的运输最小成本。

f[i]=min{ f[j]+k+w(j+1,i)*(i-j) | j<i }

其中w(x,y)表示最短的在第x天到第y天都能用的路线长度，把能在则几天一直走的点加进图中，跑最短路径即可。

bzoj1296 粉刷匠

如果只有一条木板，那么设g[i][j]表示前i个格子刷j次的最多正确格子

g[i][j]=max{ g[k][j-1]+w(k+1,i) | k<i }

w(x,y)为第x到第y个格子的最多同色格子数，哪个颜色出现的多刷哪个，直接记一个前缀和即可。

有多条木板，设f[i][j]表示前i个木板刷j次的最大答案。

f[i][j]=Max{ f[i-1][k]+g_i[m][j-k] | k<=j }

括号序列模型及解法

Codeforces314E

括号序列问题，往往就是把左括号看成+1，右括号看成-1，我们只需要保证任意一个前缀大于等于0，且总和为0，就代表是个合法括号序列了。

令dp[i][j]表示当前到第i个字符，现在还有j个左括号。

那么分三种情况考虑：

　　若第i+1个字符是左括号，则能转移到dp[i+1][j+1]。

　　若第i+1个字符是右括号，则能转移到dp[i+1][j-1]。

　　若第i+1个字符是问号，则能转移到dp[i+1][j-1]与dp[i+1][j+1]。

最终dp[n][0]就是方案总数

时间复杂度为O(n^2)

BZOJ3709

1：如果a[i]-d[i]>0，说明打掉这个怪兽有血可恢复，那么血量会变多，明显我们按照伤害d[i]从小到大排序即可，然后一个个杀下来。

2：如果a[i]-d[i]<0，说明会亏血。一个精妙的想法就是，最后剩余的血量值，假设是x，那么x是固定的。然后可以看作初始血量为x，怪兽的属性a,d交换，这样就和上一种情况一样了。

bzoj4922

我们还是把左括号看成+1，右括号看成-1，同样是保证任意一个前缀大于等于0，且总和为0。

那就是每一个给定的序列都是先-Li再+Ri，Li是对消后左端右括号的数量，Li是对消后右端左括号的数量。然后依次拼起来之后任何一个前缀都大于等于0，这个其实和刚刚所讲的题目完全一样。

我们按照上一题的做法排序即可，排序后我们从左往右做dp。

设f[i][j]为前i个括号序列-1与+1的和j个时选出括号序列最长的长度和。

也就是前i个括号序列左括号比右括号多j个时的最长的长度和。

转移时考虑下一个括号序列选不选即可。

Len[i]为排完序后第i个括号序列的长度。

f[i+1][j-L[i+1]+R[i+1]]←f[i][j] + len[i+1] (j>=L[i+1])

f[i+1][j]←f[i][j]

最后答案就是f[n][0]

一套有趣的题目

1：1,2,3…n 以此进栈，求有多少种可能的出栈序列。

2：由n对括号形成的合法的括号序列由多少个。

这个问题还有很多其他的表达形式。(小声bb

3:n个节点共能构成多少种二叉树,左右子树是认为不同。

4:凸多边形的三角划分的方案数：把一个凸多边形用n-3条直线连接n-3对顶点，共形成n-2个三角形，求方案数。

5：一个n*n的格子，从(0,0)走到(n,n)，求不跨过(0,0)->(n,n)这条直线的路径方案数。

我们设f[n]表示n个数依次进栈所能形成的出栈序列数。

似乎和之前不一样，好像不是划分成一段一段那样的简单形式。

我们可以考虑另一种形式的状态转移方式，以转移到子问题。

注意一段一段划分我们可以枚举最后一段的起点，但是这里不是一段一段的，我们要考虑另外的转移方式。

实际上我们发现我们可以枚举1这个数是什么时候出栈的。

那么我们可以得到

Vocabulary简化版

一般的dp

令dp[i][0/1][0/1]表示前i个字符，第一个字符串是否等于第二个字符串，第二字符串是否等于第三个字符串。

枚举第i+1位所有问号是什么字母，直接转移。

复杂度O(n*26^3)。

预处理转移的系数，是个很经典的优化技巧。

预处理出f[i][j][k][0/1][0/1][0/1][0/1]表示下一个位置，第一个串字符是i，第二个串字符是j，第三个串字符是k，由于可能出现”?”的情况，我们用0表示”?”。前两个[0/1]表示之前的位置1和2串是否相等，2和3串是否相等，后两个[0/1]表示将下一个位置所有”?”用字母代替后，第1个串的与第二个串的是否相等，2和3串是否相等，在转移时直接拿f数组转移。

利用这个转移系数的数组做dp的时间复杂度就是O(n)的了。

区间DP

合并石子

dp[i][j]表示将区间[i,j]这段区间内的石子合并为1堆的最小体力值。

答案就是dp[1][n]。

转移，考虑对于区间[i,j]它一定是由两段区间[i,k]，[k+1,j]合并成的,所以转移就考虑枚举[i,j]区间内的一个分割点k转移即可。dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j] | i<=k<j)+sum[i,j]。

for(int l=n;l>=1;l--)
    for(int r=l;r<=n;r++)//notice the enumeration order
        if(l==r) dp[l][r]=0;
        else
        {
            dp[l][r]=inf;
            for(int k=l;k<r;k++)
                dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l][k]+dp[k+1][r]+(sum[r]-sum[l-1]));
        }