Bellman-Ford&&SPFA
我们前文说过，有关最短路径除了Floyed算法之外，还有许多更加好的方法。这里讲一下有关 Bellman-Ford和SPFA的知识
Bellman-Ford：复杂度O（VE）
有关Bellman-Ford，也不是特别的重要，可以说算是对于SPFA的一个铺垫（有更好的方法还用什么laji更慢的算法呢？）【这里有一个迭代搞的我很懵，这里暂且看做是有关松弛的操作】
Bellman-Ford算法是求含负权图的单源最短路径的一种算法，效率较低，代码难度较小。其原理为连续进行松弛，在每次松弛时把每条边都更新一下，若在n-1次松弛后还能更新，则说明图中有负环，因此无法得出结果，否则就完成。
从这里大家可以看出Bellman-Ford和SPFA在一定程度上的弊端：图中有负环则无法出答案。但可以对其进行一步判断
我们应当明确一点：Bellman-Ford算法是用来解决单源最短路问题的。（恩，没毛病）
这里需要进行多次的松弛操作，每一次成功的松弛操作，都意味着我们发现了一条新的最短路。所以这个方法显然是对的，但是显然laji够慢
(下面这一段是黈的，毕竟本蒟蒻不会迭代QAQ)
注意：1.只有上一次迭代中松弛过的点才有可能参与下一次迭代的松弛操作。
2.迭代的实际意义：每次迭代k中，我们找到了经历了k条边的最短路。
3.没有点能够被“松弛”时，迭代结束
//由于我不太写Bellman-Ford的代码，这里用的是百度百科的，害怕误人子弟qwq
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; #define MAX 0x3f3f3f3f #define N 1010 int nodenum, edgenum, original; //点，边，起点 typedef struct Edge //边 { int u, v; int cost; }Edge; Edge edge[N]; int dis[N], pre[N]; bool Bellman_Ford() { for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //初始化 dis[i] = (i == original ? 0 : MAX); for(int i = 1; i <= nodenum - 1; ++i) for(int j = 1; j <= edgenum; ++j) if(dis[edge[j].v] > dis[edge[j].u] + edge[j].cost) //松弛（顺序一定不能反~） { dis[edge[j].v] = dis[edge[j].u] + edge[j].cost; pre[edge[j].v] = edge[j].u; } bool flag = 1; //判断是否含有负权回路 for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) if(dis[edge[i].v] > dis[edge[i].u] + edge[i].cost) { flag = 0; break; } return flag; } void print_path(int root) //打印最短路的路径（反向） { while(root != pre[root]) //前驱 { printf("%d-->", root); root = pre[root]; } if(root == pre[root]) printf("%d\n", root); } int main() { scanf("%d%d%d", &nodenum, &edgenum, &original); pre[original] = original; for(int i = 1; i <= edgenum; ++i) { scanf("%d%d%d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].cost); } if(Bellman_Ford()) for(int i = 1; i <= nodenum; ++i) //每个点最短路 { printf("%d\n", dis[i]); printf("Path:"); print_path(i); } else printf("have negative circle\n"); return 0; }
SPFA：复杂度O（MN）【这里的M在一般不毒瘤的题里是2，N就是边数】
SPFA 算法是 Bellman-Ford算法的队列优化算法的别称，通常用于求含负权边的单源最短路径，以及判负权环。SPFA 最坏情况下复杂度和朴素 Bellman-Ford 相同，为 O(VE)。
相对于Dijkstra算法来说有相似之处，但又不同（貌似Dijkstra更稳一些qwq）
算法大致流程是用一个队列来进行维护。 初始时将源加入队列。 每次从队列中取出一个元素，并对所有与他相邻的点进行松弛，若某个相邻的点松弛成功，则将其入队。 直到队列为空时算法结束。
这样就可以大幅度的减少复杂度（毒瘤题除外）
因为本蒟蒻初学，这里发一个简单的代码
可以过洛谷P3371 【模板】单源最短路径（弱化版）
题目描述
如题，给出一个有向图，请输出从某一点出发到所有点的最短路径长度。
输入输出格式
输入格式：
第一行包含三个整数N、M、S，分别表示点的个数、有向边的个数、出发点的编号。
接下来M行每行包含三个整数Fi、Gi、Wi，分别表示第i条有向边的出发点、目标点和长度。
输出格式：
一行，包含N个用空格分隔的整数，其中第i个整数表示从点S出发到点i的最短路径长度（若S=i则最短路径长度为0，若从点S无法到达点i，则最短路径长度为2147483647）
输入输出样例
说明
时空限制：1000ms,128M
数据规模：
对于20%的数据：N<=5，M<=15；
对于40%的数据：N<=100，M<=10000；
对于70%的数据：N<=1000，M<=100000；
对于100%的数据：N<=10000，M<=500000。保证数据随机。
对于真正 100% 的数据，请移步P4779。请注意，该题与本题数据范围略有不同。
样例说明：
图片1到3和1到4的文字位置调换
#include<cstdio> #include<iostream> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; const int inf=2147483647; int n,m,s; int dis[10008],vis[10008],head[10008],num_edge; struct Edge{ int next,to,dis; }edge[500008]; queue <int> q; void addedge(int from,int to,int dis) { num_edge++; edge[num_edge].next=head[from]; edge[num_edge].to=to; edge[num_edge].dis=dis; head[from]=num_edge; } void spfa() { for(int i=1;i<=n;++i) { dis[i]=inf; vis[i]=0; } dis[s]=0; vis[s]=1; q.push(s); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); vis[u]=0; for(int i=head[u];i;i=edge[i].next) { int v=edge[i].to; if(dis[v]>dis[u]+edge[i].dis) { dis[v]=dis[u]+edge[i].dis; if(!vis[v]) { q.push(v); vis[v]=1; } } } } } int main() { scanf("%d %d %d",&n,&m,&s); for(int i=1;i<=m;++i) { int u,v,d; scanf("%d %d %d",&u,&v,&d); addedge(u,v,d); } spfa(); for(int i=1;i<=n;++i) { if(i==s) printf("0 "); else printf("%d ",dis[i]); } return 0; }
