动态规划系列之七完全背包问题

问题

法外狂徒张三是一个探险家，有一次巧合之下进入到一个有宝藏的洞穴里。这个洞穴有很多种宝贝，每个宝贝的重量不一样,但宝贝数量无限。具体来说有：
A 重 2 价值为 2 数量：无限
B 重 3 价值为 4 数量：无限
C 重 4 价值为 4 数量：无限
D 重 4 价值为 5 数量：无限
E 重 1 价值为 3 数量：无限
现在张三就只有一个背包，这个背包承重为10，张三想知道如何装才能带走价值最大的宝藏？

比较完全背包问题和01背包问题的相同与不同：
相同：背包的重量是有上限的
不同：01背包的宝贝只有1个，完全背包的宝贝有无数个。

思路：

完全背包从直觉上是最好解决的，只要能找到那个性价比最高的宝贝就能带走最大的价值对不对？
那么如何找到性价比最高的宝贝呢？和01背包一样，放入第n个宝贝时，已经知道前n-1个宝贝放入的最大价值，这时就比较当前宝贝放入还是不放入。用代码来说就是：

if j >= weight[i]:
    bag[j] = max(bag[j-weight[i]] + value[i], bag[j])
else:
    bag[j] = bag[j]

同01背包问题的解法一样，从第一个物品放入开始，不断的从小到大的去增加背包的容量。当在同样的背包承重下，价值最大的就是性价比最高的。

0.初始化：

1.当装入第一个宝贝，重量为2，价值为2时：

2.当装入第二个宝贝，重量为3，价值为6时：

装入第二个宝贝前提是已经知道装入第一个宝贝的情况，当背包承重为3时，可以装入第二个宝贝就比装入第一个宝贝价值高
max(bag[3-3] + 6, 2) = max(4, 2) = 6
当装入第二个宝贝之后，这时的列表就是考虑放入前两个宝贝时，背包承重各个值下的最大价值

3.当装入第三个宝贝，重量为4，价值为4：

重量为4时，max(bag[4-4]+4,bag[4]) = max(4,6) = 6,所以，这个宝贝不能放入
当装入第三个宝贝之后，这时的列表就是考虑放入前三个宝贝时，背包承重各个值下的最大价值

4.当装入第四个宝贝，重量为4，价值为5时：

同上，max(bag[4-4]+5,bag[4]) = max(5,6) = 6
当装入第四个宝贝之后，这时的列表就是考虑放入前四个宝贝时，背包承重各个值下的最大价值

5.当装入第五个宝贝，重量为1，价值为3时：

在同等重量下，第五个宝贝的价值比前四个最大值都大，几乎横扫一篇，最后更是能够拿到30这个最大的价值。
当装入第五个宝贝之后，这时的列表就是考虑放入五个宝贝时，背包承重各个值下的最大价值，最大价值就是30

代码

weight = [2,3,4,4,1]
value = [2,6,4,5,3]
weight_most=10


bag = [0 for i in range(weight_most+1)]
for i in range(len(weight)):
    for j in range(1, weight_most+1):
    	if j >= weight[i]:
    		bag[j] = max(bag[j-weight[i]]+value[i],bag[j])
    print(bag)
        
print(bag[-1])