1093 Count PAT's (25分)

• 对于整型数 \(a\)，\(b\)，求模运算mod或者求余运算rem的方法：

  1. 求整数商：\(c = [a/b]\);

  2. 计算模或者余数：\(r = a - c*b\).

  区别：第一步不同

  • 求模运算mod：在求 \(c\) 的值时，向 \(-\infty\) 方向舍入

  • 求余运算rem：在求 \(c\) 的值时，向 \(0\) 方向舍入

  例如：计算 \(-7 \% 4\)

  	mod	rem
  \(c\)	\(-2\)	\(-1\)
  \(r\)	\(1\)	\(-3\)

  ⭐ 当 \(a\) 和 \(b\) 的正负号一样的时候，两个运算的结果是等同的；当 \(a\) 和 \(b\) 的符号不同时，rem结果的符号和 \(a\) 的一样，而mod的和 \(b\) 的一样。

• 模运算的规则

  1. \((a \pm b) \% p = (a \% p \pm b \% p) \% p\)

  2. \((a * b) \% p = (a \% p * b \% p) \% p\)

  3. \(a ^ b \% p = (a \% p)^b \% p\)

  4. 结合律

     • \(((a+b) \% p + c) \% p = (a + (b+c) \% p) \% p\)

     • \(((a*b) \% p * c) \% p = (a * (b*c) \% p) \% p\)

  5. 交换律

     • \((a + b) \% p = (b+a) \% p\)

     • \((a * b) \% p = (b*a) \% p\)

  6. 分配率

     \(((a +b)\% p * c) \% p = ((a * c) \% p + (b * c) \% p) \% p\)

• 重要定理

  • 若\(a \equiv b (\% p)\)，则对于任意的\(c\)，都有\((a + c) \equiv (b + c) (\%p)\)；

  • 若\(a \equiv b (\% p)\)，则对于任意的\(c\)，都有\((a * c) \equiv (b * c) (\%p)\)；

  • 若\(a \equiv b (\% p)\)，\(c \equiv d (\% p)\)，则 \((a + c) \equiv (b + d) (\%p)\)，\((a - c) \equiv (b - d) (\%p)\)，\((a * c) \equiv (b * d) (\%p)\)；

• 各个环境下%运算符的含义不同，比如c/c++，java 为取余，而python则为取模

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