AB实验人群定向HTE模型4 - Double Machine Learning

Hetergeneous Treatment Effect旨在量化实验对不同人群的差异影响，进而通过人群定向/数值策略的方式进行差异化实验，或者对实验进行调整。Double Machine Learning把Treatment作为特征，通过估计特征对目标的影响来计算实验的差异效果。

Machine Learning擅长给出精准的预测，而经济学更注重特征对目标影响的无偏估计。DML把经济学的方法和机器学习相结合，在经济学框架下用任意的ML模型给出特征对目标影响的无偏估计

HTE其他方法流派详见 因果推理的春天-实用HTE论文GitHub收藏

核心论文

V. Chernozhukov, D. Chetverikov, M. Demirer, E. Duflo, C. Hansen, and a. W. Newey. Double Machine Learning for Treatment and Causal Parameters. ArXiv e-prints 文章链接

背景

HTE问题可以用以下的notation进行简单的抽象

• Y是实验影响的核心指标
• T是treatment，通常是0/1变量，代表样本进入实验组还是对照组，对随机AB实验\(T \perp X\)
• X是Confounder，可以简单理解为未被实验干预过的用户特征，通常是高维向量
• DML最终估计的是\(\theta(x)\)，也就是实验对不同用户核心指标的不同影响

\[\begin{align} Y &= \theta(x) T + g(X) + \epsilon &\text{where }E(\epsilon |T,X) = 0 \\ T &= f(X) + \eta &\text{where } E(\eta|X) = 0 \\ \end{align} \]

最直接的方法就是用X和T一起对Y建模，直接估计\(\theta(x)\)。但这样估计出的\(\theta(x)\)往往是有偏的，偏差部分来自于对样本的过拟合，部分来自于\(\hat{g(X)}\)估计的偏差，假定\(\theta_0\)是参数的真实值，则偏差如下

\[\sqrt{n}(\hat{\theta}-\theta_0) = (\frac{1}{n}\sum{T_i^2})^{-1}\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{T_iU_i} +(\frac{1}{n}\sum{T_i^2})^{-1}(\frac{1}{\sqrt{n}}\sum{T_i(g(x_i) -\hat{g(x_i)})}) \]

DML模型

DML模型分为以下三个步骤

步骤一. 用任意ML模型拟合Y和T得到残差\(\tilde{Y},\tilde{T}\)

\[\begin{align} \tilde{Y} &= Y - l(x) &\text{ where } l(x) = E(Y|x)\\ \tilde{T} &= T - m(x) &\text{ where } m(x) = E(T|x)\\ \end{align} \]

步骤二. 对\(\tilde{Y},\tilde{T}\)用任意ML模型拟合\(\hat{\theta}\)

\(\theta(X)\)的拟合可以是参数模型也可以是非参数模型，参数模型可以直接拟合。而非参数模型因为只接受输入和输出所以需要再做如下变换，模型Target变为\(\frac{\tilde{Y}}{\tilde{T}}\), 样本权重为\(\tilde{T}^2\)

\[\begin{align} & \tilde{Y} = \theta(x)\tilde{T} + \epsilon \\ & argmin E[(\tilde{Y} - \theta(x) \cdot \tilde{T} )^2]\\ &E[(\tilde{Y} - \theta(x) \cdot \tilde{T} )^2] = E(\tilde{T}^2(\frac{\tilde{Y}}{\tilde{T}} - \theta(x))^2) \end{align} \]

步骤三. Cross-fitting

DML保证估计无偏很重要的一步就是Cross-fitting，用来降低overfitting带来的估计偏差。先把总样本分成两份：样本1，样本2。先用样本1估计残差，样本2估计\(\hat{\theta}^1\)，再用样本2估计残差，样本1估计$ \hat{\theta}^2$，取平均得到最终的估计。当然也可以进一步使用K-Fold来增加估计的稳健性。

\[\begin{align} sample_1, sample_2 &= \text{sample_split} \\ \theta &= \hat{\theta}^1 + \hat{\theta}^2 \\ \end{align} \]

Jonas在他的博客里比较了不使用DML，使用DML但是不用Cross-fitting，以及使用Cross-fitting的估计效果如下

从propensity的角度来理解

最近想到一个比下面GMM更加直观理解DML的角度跟大家分享下。为了更好理解，我们做一些简化假设。

假设样本在高维特征空间上依旧完全随机，那预测T的第一步会得到全部是0.5的概率预测， 实验组的\(\tilde{Y}\)是0.5, 对照组是-0.5。

预测Y的第一步（假设用GBDT拟合)，每个叶节点(k)会得到\(0.5*(\mu_{cmp,k} + \mu_{exp,k})\)的预测值。假设每个叶节点不再存在HTE，实验对叶节点内所有实验组样本都有相同效果,实验组样本的残差为\(0.5*(\mu_{exp,k} - \mu_{cmp,k} )\),而对照组为\(0.5 *(\mu_{cmp,k} - \mu_{exp,k})\),它们互为相反数。这样在用\(\tilde{T}\)来拟合\(\tilde{Y}\)的时候负负为正，得到的就会是\(\mu_{exp,k} - \mu_{cmp,k}\)

对随机AB实验T的预测往往会在0.5附近，但一般不会是0.5因为实验的样本终究是有限的，被高维特征一切割多少会有不均匀的情况。假定某个叶节点T的预测是0.6，实验组\(\tilde{T}\)=0.4,对照组\(\tilde{T}\)=-0.6。这也意味着在这个叶节点实验组样本占40%对照组占60%。保持节点无HTE的假设，Y的预测变为$0.6\mu_{exp,k} +0.4 \mu_{cmp,k} $，实验组样本的残差为\(0.4*(\mu_{exp,k} - \mu_{cmp,k} )\),而对照组为\(0.6 *(\mu_{cmp,k} - \mu_{exp,k})\)，这样公式7里面的\(\frac{\tilde{Y}}{\tilde{T}}\)是不是就make sense了。至于sample weight的调整也和propensity的逻辑一致，越接近0.5意味这估计的HTE越近似真实HTE，越偏离0.5意味着样本估计偏差越高因此权重越低。

从GMM的角度来理解

Generalized Method of Moments广义矩估计 (GMM)在经济学领域用的更多，在论文里乍一看到moment condition琢磨半天也没想起来，索性在这里简单的回顾下GMM的内容。

啥是矩估计呢？可以简单理解是用样本的分布特征来估计总计分布，分布特征由\(E((x-a)^K)\)，样本的K阶矩来抽象，一阶矩就是均值，二阶原点矩就是方差。举几个例子吧～

例如，总体样本服从\(N(\mu, \sigma^2)\)就有两个参数需要估计，那么就需要两个方程来解两个未知数，既一阶矩条件\(\sum{x_i}-\mu=0\)和二阶矩条件\(\sum{x_i^2} - \mu^2 - \sigma^2=0\)。

再例如OLS，\(Y=\beta X\)可以用最小二乘法来求解\(argmin (Y-\beta X)^2\)，但同样可以用矩估计来求解\(E(X(Y-\beta X))=0\)。实则最小二乘只是GMM的一个特例。

那针对HTE问题，我们应该选择什么样的矩条件来估计\(\theta\)呢？
直接估计\(\theta\)的矩条件如下
\(E(T(Y-T\theta_0-\hat{g_0(x)}))=0\)
DML基于残差估计的矩条件如下
\(E([(Y-E(Y|X))-(T-E(T|X))\theta_0](T-E(T|X)))=0\)

作者指出DML的矩条件服从Neyman orthogonality条件，因此即便\(g(x)\)估计有偏，依旧可以得到无偏的\(\theta\)的估计。

想看更多因果推理AB实验相关paper的小伙伴看过来 Paper_CausalInference_abtest

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参考材料&开源代码

1. V. Chernozhukov, M. Goldman, V. Semenova, and M. Taddy. Orthogonal Machine Learning for Demand Estimation: High Dimensional Causal Inference in Dynamic Panels. ArXiv e-prints, December 2017.
2. V. Chernozhukov, D. Nekipelov, V. Semenova, and V. Syrgkanis. Two-Stage Estimation with a High-Dimensional Second Stage. 2018.
3. X. Nie and S. Wager. Quasi-Oracle Estimation of Heterogeneous Treatment Effects. arXiv preprint arXiv:1712.04912, 2017.
4. Microsoft 因果推理开源代码 EconML
5. Double Machine Learning 开源代码 MLInference
6. https://www.linkedin.com/pulse/double-machine-learning-approximately-unbiased-jonas-vetterle/
7. https://www.zhihu.com/question/41312883