具体数学-第1课（递归求解实际问题）

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具体数学-第1课 - WeiYang Blog

这学期提前选修了研究生的课程：具体数学、人工智能前沿、NLP讨论班，就随便记记具体数学每一节课所学的东西吧。

第一节课讲的都是一些很简单的东西，这里就一带而过了。

汉诺塔问题

这是个老生常谈的问题了，n个盘子，3个柱子的汉诺塔问题，最少移动次数记为 \(T(n)\) 。
那么 \[T(n)=2T(n-1)+1\]
边界条件为 \(T(0)=0\) 。
解出 \[T(n)=2^n-1\]
验证可以采用数学归纳法，这里就不多说了。

直线分割平面问题

这也是个高中问题了，n条直线最多分割平面为几部分，记为 \(L(n)\) 。
那么 \[L(n)=L(n-1)+n\]
边界条件为 \(L(0)=1\) 。
解出 \[L(n)=n(n+1)/2+1\]

这题有个扩展，n个V型最多分割平面为几部分？
解决思路如下：

v2-2790750152e841f77112a64ee0af64af_b.jpg

如上图所示，将V型补全（红色虚线部分），那么就转化为了 \(2n\) 条直线划分平面数，那么n个V型划分数只要减去 \(2n\) 就行了，所以答案为：
\[Z(n)=L(2n)-2n=2n^2-n+1\]

约瑟夫环问题

这个问题暴力求解的话模拟就行了，复杂度是 \(O(n^2)\) 的，这里探索一种直接求解的方法。
分两种情况讨论：
当有 \(2n\) 个人时，踢掉 \(n\) 个人之后，情况如下图所示

v2-6280aad05d12942bd00ae5d39d47b10d_b.jpg

观察对应关系可以得出
\[J(2n)=2J(n)-1\]
同理，当有 \(2n+1\) 个人时，踢掉 \(n+1\) 个人之后，情况如下图所示

v2-cbe8fe2fd9ba7e4daf634534af2ec1d4_b.jpg

观察对应关系可以得出
\[J(2n+1)=2J(n)+1\]
边界条件为
\[J(1)=1\]
这个递推式很难求解，但是枚举出前面几项可以发现，如果令 \(n=2^m+l\) ，其中 \(2^m\) 是小于等于 \(n\) 的最大2的幂，那么
\[J(n)=2l+1\]
正确性可以通过数学归纳法求证。

第一节课就讲了这么多，约瑟夫环还有很多问题值得探讨，下节课继续。。。

posted on 2020-01-17 01:03  godweiyang  阅读(112)  评论(0)  编辑  收藏  举报

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