具体数学-第2课（成套方法求解递归式）

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今天主要讲了关于递推式和求和的一些方法，主要是成套方法。

约瑟夫环推广

上一节课说到，约瑟夫环问题的解是
$f(n) = 2l + 1$
其中 $n = {2^m} + l$
将 $n$ 写成二进制可以发现， $f(n)$ 就是 $n$ 的二进制循环左移1位。
现在做一下推广，求解如下递推式：
$\begin{array}{l}f(1) = \alpha \\f(2n) = 2f(n) + \beta \\f(2n + 1) = 2f(n) + \gamma \end{array}$
可以设
$f(n) = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma$
同样，令 $n = {2^m} + l$
可以解出
$\begin{array}{l}A(n) = {2^m}\\B(n) = {2^m} - 1 - l\\C(n) = l\end{array}$
再从二进制角度理解一下，将递推式继续推广：
$\begin{array}{*{20}{l}}{f(j) = {\alpha _j},1 \le j < d}\\{f(dn + j) = cf(n) + {\beta _j},0 \le j \le d,n \ge 1}\end{array}$
可以得到解为
$f({({b_m}{b_{m - 1}} \ldots {b_1}{b_0})_d}) = {({\alpha _{{b_m}}}{\beta _{{b_{m - 1}}}}{\beta _{{b_{m - 2}}}} \ldots {\beta _{{b_1}}}{\beta _{{b_0}}})_c}$

递推式求和

求解如下递推式：
$\begin{array}{l}{R_0} = \alpha \\{R_n} = {R_{n - 1}} + \beta n + \gamma \end{array}$
用成套方法求解，设
${Rn} = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma$
首先令 ${R_n} = 1$ ，可以得到 $\alpha = 1,\beta = 0,\gamma = 0$ ，所以 $A(n) = 1$ 。
再令 ${R_n} = n$ ，可以得到 $\alpha = 0,\beta = 0,\gamma = 1$ ，所以 $C(n) = n$ 。
最后令 ${R_n} = {n^2}$ ，可以得到 $\alpha = 0,\beta = 2,\gamma = - 1$ ，所以 $2B(n) - C(n) = {n^2}$ ，所以 $B(n) = ({n^2} + n)/2$

再来一个更复杂的递推式：
$\begin{array}{l}{R_0} = \alpha \\{R_n} = 2{R_{n - 1}} + \beta n + \gamma \end{array}$
同样的方法，设
${R_n} = A(n)\alpha + B(n)\beta + C(n)\gamma$
首先令 ${R_n} = 1$ ，可以得到 $\alpha = 1,\beta = 0,\gamma = -1$ ，所以 $A(n) - C(n) = 1$ 。
再令 ${R_n} = n$ ，可以得到 $\alpha = 0,\beta = -1,\gamma = 2$ ，所以 $2C(n) - B(n) = n$ 。
这时候能不能令 ${Rn} = {n^2}$ 呢？答案是不能，因为如果 ${R_n} = {n^2}$ ，那么
${n^2} = 2{(n - 1)^2} + \beta n + \gamma$ 显然不可能成立。
观察系数，可以令 ${R_n} = 2^n$ ，可以得到 $\alpha = 1,\beta = 0,\gamma = 0$ ，所以 $A(n) = 2^n$ 。
所以
$A(n) = {2^n},B(n) = {2^{n + 1}} - n + 2,C(n) = {2^n} + 1$