具体数学-第7课（取整基础）

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首先声明一下，最近这段时间忙毕设，没时间更新博客了，大家见谅。

今天这节课开始讲解取整相关知识，主要是数论相关的了。

符号定义

向下取整函数 $\left\lfloor x \right\rfloor$ 定义为小于等于 $x$ 的最大整数。
向上取整函数 $\left\lceil x \right\rceil$ 定义为大于等于 $x$ 的最小整数。
$\{ x\}$ 定义为实数 $x$ 的小数部分，即
$\{ x\} = x - \left\lfloor x \right\rfloor$

性质

性质1

$\left\lceil x \right\rceil - \left\lfloor x \right\rfloor = [x \in \mathbb{Z}]$

性质2

取整函数范围：
$x - 1 < \left\lfloor x \right\rfloor \le x \le \left\lceil x \right\rceil < x + 1$

性质3

负数的取整：
$\begin{array}{l}\left\lfloor { - x} \right\rfloor = - \left\lceil x \right\rceil \\\left\lceil { - x} \right\rceil = - \left\lfloor x \right\rfloor \end{array}$

性质4

取整函数中的整数可以提取出来：
$\left\lfloor {x + n} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + n$

应用

应用1

证明：
$\left\lfloor {\sqrt {\left\lfloor x \right\rfloor } } \right\rfloor = \left\lfloor {\sqrt x } \right\rfloor$

更一般的，我们还可以证明，对于任意连续、递增的函数 $f(x)$ ，如果它满足
$f(x) \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}$
那么有
$\begin{array}{l}\left\lfloor {f(x)} \right\rfloor = \left\lfloor {f(\left\lfloor x \right\rfloor )} \right\rfloor \\\left\lceil {f(x)} \right\rceil = \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil \end{array}$

我们证明第2个式子，第1个同理可证。

如果 $x = \left\lceil x \right\rceil$ ，显然成立。

否则 $x < \left\lceil x \right\rceil$ ，因为 $f(x)$ 递增，所以有
$f(x) < f(\left\lceil x \right\rceil )$
两边同时取整，有
$\left\lceil {f(x)} \right\rceil \le \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil$
要证左右两边相等，那么只要证
$\left\lceil {f(x)} \right\rceil < \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil$
不成立即可。假设上式成立，那么由中间值定理，一定存在 $x \le y < \left\lceil x \right\rceil$ ，使得
$f(y) = \left\lceil {f(x)} \right\rceil$
敲黑板！！这里是怎么来的呢？
由下图可以看出，当下面式子成立时，满足中间值定理
$f(x) < \left\lceil {f(x)} \right\rceil < f(\left\lceil x \right\rceil )$
但是在这里，我们假设是
$\left\lceil {f(x)} \right\rceil < \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil$
那么由 $\left\lceil {f(x)} \right\rceil < \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil$ 能否推出 $\left\lceil {f(x)} \right\rceil < f(\left\lceil x \right\rceil )$ 呢？当然是可以的。
$\begin{array}{l}\left\lceil {f(x)} \right\rceil < \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil \\ \Rightarrow \left\lceil {f(x)} \right\rceil \le \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil - 1 < f(\left\lceil x \right\rceil )\end{array}$

所以
$f(y) \in \mathbb{Z} \Rightarrow y \in \mathbb{Z}$
又因为 $x \le y < \left\lceil x \right\rceil$ ，所以不存在整数 $y$ ，矛盾！

所以证得
$\left\lceil {f(x)} \right\rceil = \left\lceil {f(\left\lceil x \right\rceil )} \right\rceil$

另一个特殊的例子是
$\left\lfloor {\frac{ {x + m}}{n}} \right\rfloor = \left\lfloor {\frac{ {\left\lfloor x \right\rfloor + m}}{n}} \right\rfloor$
其中 $m$ 和 $n$ 都是整数，并且 $n$ 是正整数。

应用2

接着介绍区间相关的性质。

求1到1000中使得下列式子成立的 $n$ 一共有多少个？
$\left\lfloor {\sqrt[3]{n}} \right\rfloor |n$
求解方法如下：
$\begin{array}{l}W{\rm{ = }}\sum\limits_{1 \le n \le 1000} {\left[ {\left\lfloor {\sqrt[3]{n}} \right\rfloor |n} \right]} \\ = \sum\limits_{k,n} {\left[ {k = \left\lfloor {\sqrt[3]{n}} \right\rfloor } \right]\left[ {k|n} \right]\left[ {1 \le n \le 1000} \right]} \\ = \sum\limits_{k,m,n} {\left[ { {k^3} \le n < { {(k + 1)}^3}} \right]\left[ {n = km} \right]} \left[ {1 \le n \le 1000} \right]\\ = 1 + \sum\limits_{k,m} {\left[ { {k^3} \le km < { {(k + 1)}^3}} \right]} \left[ {1 \le k < 10} \right]\\ = 1 + \sum\limits_{k,m} {\left[ {m \in [{k^2},{ {(k + 1)}^3}/k)} \right]} \left[ {1 \le k < 10} \right]\\ = 1 + \sum\limits_{1 \le k < 10} {(\left\lceil { {k^2} + 3k + 3 + 1/k} \right\rceil - \left\lceil { {k^2}} \right\rceil )} \\ = 1 + \sum\limits_{1 \le k < 10} {(3k + 4)} \\ = 172\end{array}$

继续推广，求1到 $N$ 中使得上面式子成立的 $n$ 有多少个？
令
$K = \left\lfloor {\sqrt[3]{N}} \right\rfloor$
也就是小于等于 $\left\lfloor {\sqrt[3]{N}} \right\rfloor$ 的最大整数。
所以
$\begin{array}{l}W = \sum\limits_{1 \le k < K} {(3k + 4)} + \sum\limits_m {\left[ { {K^3} \le Km \le N} \right]} \\ = \left\lfloor {N/K} \right\rfloor + \frac{1}{2}{K^2} + \frac{5}{2}K - 3\end{array}$
渐进地等于
$W = \frac{3}{2}{N^{2/3}} + O({N^{1/3}})$

应用3

定义一个实数的谱为：
$Spec(\alpha ) = \{ \left\lfloor \alpha \right\rfloor ,\left\lfloor {2\alpha } \right\rfloor ,\left\lfloor {3\alpha } \right\rfloor , \ldots \}$

很容易证明如果两个实数 $\alpha \ne \beta$ ，那么
$Spec(\alpha ) \ne Spec(\beta )$

假设 $\alpha < \beta$ ，那么令
$m(\beta - \alpha ) \ge 1$
所以
$m\beta \ge m\alpha + 1 \Rightarrow \left\lfloor {m\beta } \right\rfloor > \left\lfloor {m\alpha } \right\rfloor$
所以集合 $Spec(\beta )$ 中小于 $\left\lfloor {m\alpha } \right\rfloor$ 的元素个数小于 $m$ 。而集合 $Spec(\alpha )$ 中小于 $\left\lfloor {m\alpha } \right\rfloor$ 的元素个数大于等于 $m$ 。所以两个集合不相等。

谱有很多奇妙的性质，例如下面两个谱：
$\begin{array}{l}Spec(\sqrt 2 ) = \{ \left\lfloor {\sqrt 2 } \right\rfloor ,\left\lfloor {2\sqrt 2 } \right\rfloor ,\left\lfloor {3\sqrt 2 } \right\rfloor , \ldots \} \\Spec(2{\rm{ + }}\sqrt 2 ) = \{ \left\lfloor {2{\rm{ + }}\sqrt 2 } \right\rfloor ,\left\lfloor {2(2{\rm{ + }}\sqrt 2 )} \right\rfloor ,\left\lfloor {3(2{\rm{ + }}\sqrt 2 )} \right\rfloor , \ldots \} \end{array}$
可以发现，这两个谱正好划分了正整数集。
证明方法也很简单，只要证明对任意正整数 $n$ ，两个集合中小于 $n$ 的元素个数之和为 $n$ ，过程如下：
$\begin{array}{l}\left\lfloor {k\sqrt 2 } \right\rfloor \le n\\ \Rightarrow k\sqrt 2 < n + 1\\ \Rightarrow k < \frac{ {n + 1}}{ {\sqrt 2 }}\end{array}$
所以第一个集合中小于 $n$ 的元素个数为
$\left\lfloor {\frac{ {n + 1}}{ {\sqrt 2 }}} \right\rfloor$
同理第二个集合中小于 $n$ 的元素个数为
$\left\lfloor {\frac{ {n + 1}}{ {2 + \sqrt 2 }}} \right\rfloor$
所以总个数为
$\begin{array}{l}\left\lfloor {\frac{ {n + 1}}{ {\sqrt 2 }}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{ {n + 1}}{ {2 + \sqrt 2 }}} \right\rfloor \\ = \left\lfloor {\frac{ {\sqrt 2 }}{2}(n + 1)} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{ {2 - \sqrt 2 }}{2}(n + 1)} \right\rfloor \\ = n + 1 + \left\lfloor {\frac{ {\sqrt 2 }}{2}(n + 1)} \right\rfloor + \left\lfloor { - \frac{ {\sqrt 2 }}{2}(n + 1)} \right\rfloor \\ = n + 1 + \left\lfloor {\frac{ {\sqrt 2 }}{2}(n + 1)} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{ {\sqrt 2 }}{2}(n + 1)} \right\rfloor - 1\\ = n\end{array}$
得证。