具体数学-第8课(取整进阶)

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具体数学-第8课 - WeiYang Blog

今天主要讲了取整与递归式的结合,还有取模的相关知识。

例题1

给出下列递归式:
\begin{array}{l}{K_0}{\rm{ = }}1\\{K_{n + 1}} = 1 + \min (2{K_{\left\lfloor {n/2} \right\rfloor }},3{K_{\left\lfloor {n/3} \right\rfloor }}),n \ge 0\end{array}
现在不要求你求解,要你证明:
{K_n} \ge n
首先想到的就是数学归纳法,假设对于任意 k \le n ,都有 {K_k} \ge k ,那么:
\begin{array}{l}{K_{n + 1}} = 1 + \min (2{K_{\left\lfloor {n/2} \right\rfloor }},3{K_{\left\lfloor {n/3} \right\rfloor }})\\ \ge 1 + \min (2\left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor ,3\left\lfloor {\frac{n}{3}} \right\rfloor )\end{array}
如果 n = 2k ,那么 {K_{n + 1}} \ge 1 + n
如果 n = 2k + 1 ,那么 {K_{n + 1}} \ge n ,这时不成立。

所以数学归纳法无法证明,今后我们会用其他方法来证明这个式子。

约瑟夫环新解

还记得约瑟夫环问题吗?详见第一节课

这里我们继续推广到一般情况,如果有 n 个人,每隔 q 个人踢掉一个人,最后剩下的是几号?

初始编号为 1 \ldots n ,现在考虑一种新的编号方式。

第一个人不会被踢掉,编号加 1 ,变成 n+1 ,然后第二个人编号变为 n+2 ,直到第 q 个人,他被踢掉了。

然后第 q+1 个人编号继续加 1 ,变成了 n+q ,依次下去。

考虑当前踢到的人编号为 kq ,那么此时已经踢掉了 k 个人,所以接下去的人新的编号为 n + k(q - 1) + 1 \ldots

所以编号为 kq+d 的人编号变成了 n + k(q - 1) + d ,其中 1 \le d < q

直到最后,可以发现活下来的人编号为 qn ,问题是怎么根据这个编号推出他原来的编号?

n=10q=3 为例,下图就是每个人新的编号:

v2-ab75e57b1a22aac9f6ecf2e715257626_b.jpg



N = n + k(q - 1) + d
所以他上一次的编号是
kq + d = kq + N - n - k(q - 1) = k + N - n
因为
k = \frac{ {N - n - d}}{ {q - 1}} = \left\lfloor {\frac{ {N - n - 1}}{ {q - 1}}} \right\rfloor
所以上一次编号可以写为
\left\lfloor {\frac{ {N - n - 1}}{ {q - 1}}} \right\rfloor + N - n

因此最后存活的人编号可以用如下的算法计算:

        N = qn
while N > n:
    N = k + N - n
ans = N
      

其中 k = \left\lfloor {\frac{ {N - n - 1}}{ {q - 1}}} \right\rfloor

如果我们用 D = qn + 1 - N 替代 N ,将会进一步简化算法:
\begin{array}{l}D = qn + 1 - N\\ = qn + 1 - \left( {\left\lfloor {\frac{ {(qn + 1 - D) - n - 1}}{ {q - 1}}} \right\rfloor + qn + 1 - D - n} \right)\\ = n + D - \left\lfloor {\frac{ {(q - 1)n - D}}{ {q - 1}}} \right\rfloor \\ = D - \left\lfloor {\frac{ { - D}}{ {q - 1}}} \right\rfloor \\ = D + \left\lceil {\frac{D}{ {q - 1}}} \right\rceil \\ = \left\lceil {\frac{q}{ {q - 1}}D} \right\rceil \end{array}

算法伪代码如下:

        D = 1
while D <= (q-1)n:
    D = k
ans = qn + 1 - D
      

其中 k = \left\lceil {\frac{q}{ {q - 1}}D} \right\rceil

模的性质

定义与性质

模定义如下:
x\bmod y = x - y\left\lfloor {\frac{x}{y}} \right\rfloor
特别的
x\bmod 0 = x

与此类似,定义一个与模类似的运算:
x{\rm{ mumble }}y = y\left\lceil {\frac{x}{y}} \right\rceil - x
形象理解如下图所示:

v2-926c62086ad6699a1f09afae9cd5cc44_b.jpg

圆的周长是 y ,一共走过的路长(红色+绿色部分)是 x ,所以 x\bmod y 就是绿色部分, x{\rm{ mumble }}y 就是一圈长度减去绿色部分。

模有一些性质:
c(x\bmod y) = (cx)\bmod (cy)

应用

考虑如下问题,怎么平均分配 n 个东西给 m 个人?

很容易想到,首先分给每个人 \left\lfloor {\frac{n}{m}} \right\rfloor 个东西,剩下 n\bmod m 件东西分给前 n\bmod m 个人,一人多一件就行。

概括起来就是,前 n\bmod m 个人,每人 \left\lceil {\frac{n}{m}} \right\rceil 件,剩下的人,每人 \left\lfloor {\frac{n}{m}} \right\rfloor 件。

那有没有办法统一表示呢?有的,每个人分到的件数为
\left\lceil {\frac{ {n - k + 1}}{m}} \right\rceil ,1 \le k \le m

为什么呢?假设
n = qm + r,0 \le r < m
那么
\begin{array}{l}\left\lceil {\frac{ {n - k + 1}}{m}} \right\rceil = \left\lceil {\frac{ {qm + r - k + 1}}{m}} \right\rceil \\ = q + \left\lceil {\frac{ {r - k + 1}}{m}} \right\rceil \end{array}
1 \le k \le r 时,
\left\lceil {\frac{ {r - k + 1}}{m}} \right\rceil = 1
r < k \le m 时,
\left\lceil {\frac{ {r - k + 1}}{m}} \right\rceil = 0

得证,因此可以得到如下等式:
n = \left\lceil {\frac{n}{m}} \right\rceil + \left\lceil {\frac{ {n - 1}}{m}} \right\rceil + \cdots + \left\lceil {\frac{ {n - m + 1}}{m}} \right\rceil

n = \left\lfloor {\frac{n}{2}} \right\rfloor + \left\lceil {\frac{n}{2}} \right\rceil
可以进一步将其转换为下取整形式:
n = \left\lfloor {\frac{n}{m}} \right\rfloor + \left\lfloor {\frac{ {n + 1}}{m}} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor {\frac{ {n + m - 1}}{m}} \right\rfloor

n = \left\lfloor {mx} \right\rfloor
我们得到了一个令人惊奇的等式:
\left\lfloor {mx} \right\rfloor = \left\lfloor x \right\rfloor + \left\lfloor {x + \frac{1}{m}} \right\rfloor + \cdots + \left\lfloor {x + \frac{ {m - 1}}{m}} \right\rfloor

HDU3089

最后用今天介绍的约瑟夫环算法来解决一道经典的ACM题!题目链接:杭电3089

C++代码如下:

        #include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long LL;

LL Ceil(LL x, LL y) {
    if (x % y == 0) return x / y;
    return x / y + 1;
}

LL J(LL n, LL q) {
    LL D = 1, end = (q - 1) * n;
    while (D <= end) {
        D = Ceil(q * D, q - 1);
    }
    return q * n + 1 - D;
}

int main() {
    LL n, q;
    while (~scanf("%lld%lld", &n, &q)) {
        printf("%lld\n", J(n, q));
    }
    return 0;
}

      

比网上各种快速算法还要快哦,理论时间复杂度是 \log n 的。

posted on 2020-01-17 01:03  godweiyang  阅读(145)  评论(0编辑  收藏  举报

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